Нерациональные точки кривой над конечным полем

[Without Name]

Пусть $\tilde{\mathbb{F}}$ - конечное расширение поля $\mathbb{F}$ минимальной степени, такое, что $Q \in \tilde{\mathbb{F}}^n$ - точка на кривой, тогда степень точки $Q$ по определению равна степени расширения $\tilde{\mathbb{F}}$ над $\mathbb{F}$. Точка степени 1 называется рациональной. Точки степени выше 1 не рациональные.

Пример. Рассмотрим плоскую аффинную кривую $C:y - x^2$ над $\mathbb{F}$. Точки $(0,0)$ и $(1,1)$ - единственные рациональные точки, а точки $(\alpha, \alpha^2)$ и $(\alpha^2, 1)$, где $\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_{2}(\alpha), \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ - нерациональные точки степени 2.

А почему последние две точки лежат на кривой? По моим расчетам это не так. Возьмем точку $(\alpha^2, 1)$. Если $\alpha^2 = \alpha + 1$, то $y-x^2 = 1 - (\alpha^2)^2 = 1 - (\alpha + 1)^2 = 1 - (\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 1- (\alpha + 1 + 1) = 1-\alpha$. Где я ошибся?

[RIP]

Там опечатка: должно быть $(\alpha^2,\alpha)$ вместо $(\alpha^2, 1)$. Она лежит на кривой, потому что $\alpha^3=1$.