Т-алгебры

[EminentVictorians]

Маклейн, стр. 164-165 писал(а):

6.2. Алгебры над монадой
Естественный вопрос: "Всякая ли монада определяется парой сопряженных функторов?" имеет положительный ответ, а на самом деле два положительных ответа, отвечающие двум парам сопряженных функторов. При первом ответе (Eilenbrg, Moore [1965]) по монаде $(T, \eta, \mu)$ в категории $X$ строится категория $T$-алгебр $X^T$ и сопряжение $X \to X^T$, которое и определяет монаду $(T, \eta, \mu)$ в $X$. Формально, $T$-алгебра - это множество, на котором действует моноид $T$ (см. Введение).
Определение. Пусть $T = (T, \eta, \mu)$ - монада в категории $X$. Тогда алгебра над монадой $T$ ($T$-алгебра) $(x, h)$ - это пара, включающая объект $x \in X$ (носитель алгебры) и стрелку $h: Tx \to x$ в категории $X$ (называемую структурным отображением алгебр), для которой коммутативны диаграммы

$$\xymatrix{T^2x \ar[d]_{\mu_x} \ar[r]^{Th} & Tx \ar[d]^{h}\\ Tx \ar[r]_{h} & x }$$

$$\xymatrix{x \ar[r]^{\eta_x} \ar[rd]_{1} & Tx \ar[d]^{h}\\ . & x }$$

(Первая диаграмма означает ассоциативность, вторая - наличие единицы.)
Морфизм $T$-алгебр $f:(x, h) \to (x', h')$ - это стрелка $f:x \to x'$ в категории $X$, для которой коммутативна диаграмма

$$\xymatrix{x \ar[d]_{f} & Tx \ar[d]^{Tf} \ar[l]_{h}\\ x' & Tx' \ar[l]_{h'}}$$

Мне кажется, что здесь что-то не так. С одной стороны, написано:

Цитата:

Формально, $T$-алгебра - это множество, на котором действует моноид $T$ (см. Введение).

Расшифрую, как я это понимаю. Есть категория $X$. Она не обязательно моноидальная (она вообще похоже может быть любой). Есть категория $X^X$ ее эндофункторов. Она строго моноидальна. Моноид - это тройка $(M, \mu: M \otimes M \to M, \eta: 1 \to M)$ (написал в общем виде), где все вот эти штуки из скобок находятся в некоторой моноидальной категории. Действовать моноид $M$ может на сущность $A$, которая тоже находится в этой же моноидальной категории, что и сам моноид $M$. Получается, что эта $T$-алгебра находится в той же моноидальной категории, что и моноид $T$, а значит - в категории $X^X$.

Далее в книге написано:

Цитата:

Определение. Пусть $T = (T, \eta, \mu)$ - монада в категории $X$. Тогда алгебра над монадой $T$ ($T$-алгебра) $(x, h)$ - это пара, включающая объект $x \in X$ (носитель алгебры) и стрелку $h: Tx \to x$ в категории $X$ (называемую структурным отображением алгебр),

Почему "$x \in X$"? Должно же быть $x \in X^X$.
И точно так же вместо "и стрелку $h: Tx \to x$ в категории $X$" должно быть "и стрелку $h: Tx \to x$ в категории $X^X$.

И дальше эта же ошибка (?) повторяется ниже

Цитата:

Морфизм $T$-алгебр $f:(x, h) \to (x', h')$ - это стрелка $f:x \to x'$ в категории $X$, для которой коммутативна диаграмма

Если понимать $T$-алгебру, как действие моноида, то морфизм $T$-алгебр должен быть морфизмом действий моноидов, т.е. стрелкой $f:x \to x'$ в категории $X^X$ (а не $X$ как в цитате).

Забавно, что при всем этом диаграммы вроде как правильные. Если бы диаграммы были неверные, я бы подумал, что ошибка здесь:

Цитата:

Формально, $T$-алгебра - это множество, на котором действует моноид $T$ (см. Введение).

Но раз диаграммы правильные, неужели все, что я приметил - ошибки?

Я хочу понять, что за зверь эта $T$-алгебра. Элемент категории $X$ или ее эндофунктор (т.е. элемент $X^X$)? Конечно, мне хочется верить, что она все же эндофунктор (потому что так хотя бы понятно ее инвариантное определение). Но вдруг нет. Хотелось бы уточнить этот момент.

[EminentVictorians]

Я решил еще раз вернуться к этой теме.

Очевидно, цитата

Цитата:

Формально, $T$-алгебра - это множество, на котором действует моноид $T$ (см. Введение).

неверна, если ее воспринимать непосредственно. Вообще, я хоть и не сразу, но по крайней мере догадался, что вместо стрелки $h$ в

Цитата:

$$\xymatrix{T^2x \ar[d]_{\mu_x} \ar[r]^{Th} & Tx \ar[d]^{h}\\ Tx \ar[r]_{h} & x }$$

лучше было бы написать $h_x$, а под $h$ понимать именно естественное преобразование (а не его компоненту). Очевидно, что $h$ должно быть естественным преобразованием $h: T \to Id_X$. Но мы же хотим, чтобы $T$-алгебры определялись в терминах действий. Благо, категория $X^X$ строго моноидальна, поэтому можно определить $h$ как левое действие монады $T$ на тождественный функтор категории $X$: $T \circ Id_X \overset{h}{\to} Id_X$. (я использую нотацию для композиции $f \circ g = g(f())$; и категория $X^X$ у меня моноидальна относительно именно такой композиции )

Исходя из такого понимания, у меня получился коммутативный квадрат, практически совпадающий с квадратом из книги. А именно, вот такой:

$$\xymatrix{T^2x \ar[d]_{\mu_x} \ar[r]^{h_{T_{x}}} & Tx \ar[d]^{h_x}\\ Tx \ar[r]_{h_x} & x }$$

Отличие всего лишь в верхней стрелке! (замена $h$ на $h_x$ - это просто косметическое улучшение обозначений из книги; оно ни на что не влияет).

Диаграмма

$$\xymatrix{x \ar[r]^{\eta_x} \ar[rd]_{1} & Tx \ar[d]^{h_x}\\ . & x }$$

для единицы совпала полностью.

Очевидно, это не может быть простым совпадением. Скорее всего, я верно уловил основную мысль о том, что $T$-алгебры определяются как левое (относительно "моей" композиции) действие монады $T$ на тождественный функтор категории $X$. К сожалению, такая инвариантная формулировка в книге не была приведена. В связи с этим 2 вопроса:

1) Верная ли идея?
2) Точно ли должна быть стрелка $Th$ (которую следовало бы обозначить $Th_x$) , а не $h_{T_{x}}$ как у меня? (Проблема в том, что стрелка $Th$ фигурирует не только в книге, но и в статье в википедии; но там могли и просто списать с книги)


Есть еще 1 момент. Маклейн пишет:

Цитата:

Морфизм $T$-алгебр $f:(x, h) \to (x', h')$ - это стрелка $f:x \to x'$ в категории $X$, для которой коммутативна диаграмма

$$\xymatrix{x \ar[d]_{f} & Tx \ar[d]^{Tf} \ar[l]_{h}\\ x' & Tx' \ar[l]_{h'}}$$

Инвариантно, хочется понимать морфизм $T$-алгебр как морфизм двух действий монады $T$. Но действия то здесь всегда на тождественный функтор! Поэтому морфизмом действий должна называться стрелка $f: Id_X \to Id_X$ ($f$ - это естественное преобразование; написал для сверки). А значит компонента $f_x$ этого естественного преобразования должна иметь вид $f_x: x \to x$. Теперь я смотрю в цитату из Маклейна, там написано

Цитата:

это стрелка $f:x \to x'$

Как и выше со стрелкой $h$ тут должно быть $f_x$, а не $f$ (компонента, а не все естественное преобразование). Но $f_x$ имеет вид $f_x: x \to x$ а тут написано $x \to x'$. Еще одно несовпадение. С ним тоже хотелось бы разобраться.