2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Т-алгебры
Сообщение25.02.2023, 22:51 


22/10/20
1050
Маклейн, стр. 164-165 писал(а):
6.2. Алгебры над монадой
Естественный вопрос: "Всякая ли монада определяется парой сопряженных функторов?" имеет положительный ответ, а на самом деле два положительных ответа, отвечающие двум парам сопряженных функторов. При первом ответе (Eilenbrg, Moore [1965]) по монаде $(T, \eta, \mu)$ в категории $X$ строится категория $T$-алгебр $X^T$ и сопряжение $X \to X^T$, которое и определяет монаду $(T, \eta, \mu)$ в $X$. Формально, $T$-алгебра - это множество, на котором действует моноид $T$ (см. Введение).
Определение. Пусть $T = (T, \eta, \mu)$ - монада в категории $X$. Тогда алгебра над монадой $T$ ($T$-алгебра) $(x, h)$ - это пара, включающая объект $x \in X$ (носитель алгебры) и стрелку $h: Tx \to x$ в категории $X$ (называемую структурным отображением алгебр), для которой коммутативны диаграммы $$\xymatrix{T^2x \ar[d]_{\mu_x} \ar[r]^{Th} & Tx \ar[d]^{h}\\ Tx \ar[r]_{h} & x }$$
$$\xymatrix{x \ar[r]^{\eta_x} \ar[rd]_{1} & Tx \ar[d]^{h}\\ . & x }$$
(Первая диаграмма означает ассоциативность, вторая - наличие единицы.)
Морфизм $T$-алгебр $f:(x, h) \to (x', h')$ - это стрелка $f:x \to x'$ в категории $X$, для которой коммутативна диаграмма $$\xymatrix{x \ar[d]_{f} & Tx \ar[d]^{Tf} \ar[l]_{h}\\ x' & Tx' \ar[l]_{h'}}$$


Мне кажется, что здесь что-то не так. С одной стороны, написано:
Цитата:
Формально, $T$-алгебра - это множество, на котором действует моноид $T$ (см. Введение).
Расшифрую, как я это понимаю. Есть категория $X$. Она не обязательно моноидальная (она вообще похоже может быть любой). Есть категория $X^X$ ее эндофункторов. Она строго моноидальна. Моноид - это тройка $(M, \mu: M \otimes M \to M, \eta: 1 \to M)$ (написал в общем виде), где все вот эти штуки из скобок находятся в некоторой моноидальной категории. Действовать моноид $M$ может на сущность $A$, которая тоже находится в этой же моноидальной категории, что и сам моноид $M$. Получается, что эта $T$-алгебра находится в той же моноидальной категории, что и моноид $T$, а значит - в категории $X^X$.

Далее в книге написано:
Цитата:
Определение. Пусть $T = (T, \eta, \mu)$ - монада в категории $X$. Тогда алгебра над монадой $T$ ($T$-алгебра) $(x, h)$ - это пара, включающая объект $x \in X$ (носитель алгебры) и стрелку $h: Tx \to x$ в категории $X$ (называемую структурным отображением алгебр),
Почему "$x \in X$"? Должно же быть $x \in X^X$.
И точно так же вместо "и стрелку $h: Tx \to x$ в категории $X$" должно быть "и стрелку $h: Tx \to x$ в категории $X^X$.

И дальше эта же ошибка (?) повторяется ниже
Цитата:
Морфизм $T$-алгебр $f:(x, h) \to (x', h')$ - это стрелка $f:x \to x'$ в категории $X$, для которой коммутативна диаграмма
Если понимать $T$-алгебру, как действие моноида, то морфизм $T$-алгебр должен быть морфизмом действий моноидов, т.е. стрелкой $f:x \to x'$ в категории $X^X$ (а не $X$ как в цитате).

Забавно, что при всем этом диаграммы вроде как правильные. Если бы диаграммы были неверные, я бы подумал, что ошибка здесь:
Цитата:
Формально, $T$-алгебра - это множество, на котором действует моноид $T$ (см. Введение).
Но раз диаграммы правильные, неужели все, что я приметил - ошибки?

Я хочу понять, что за зверь эта $T$-алгебра. Элемент категории $X$ или ее эндофунктор (т.е. элемент $X^X$)? Конечно, мне хочется верить, что она все же эндофунктор (потому что так хотя бы понятно ее инвариантное определение). Но вдруг нет. Хотелось бы уточнить этот момент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Т-алгебры
Сообщение08.03.2023, 21:28 


22/10/20
1050
Я решил еще раз вернуться к этой теме.

Очевидно, цитата
Цитата:
Формально, $T$-алгебра - это множество, на котором действует моноид $T$ (см. Введение).
неверна, если ее воспринимать непосредственно. Вообще, я хоть и не сразу, но по крайней мере догадался, что вместо стрелки $h$ в
Цитата:
$$\xymatrix{T^2x \ar[d]_{\mu_x} \ar[r]^{Th} & Tx \ar[d]^{h}\\ Tx \ar[r]_{h} & x }$$
лучше было бы написать $h_x$, а под $h$ понимать именно естественное преобразование (а не его компоненту). Очевидно, что $h$ должно быть естественным преобразованием $h: T \to Id_X$. Но мы же хотим, чтобы $T$-алгебры определялись в терминах действий. Благо, категория $X^X$ строго моноидальна, поэтому можно определить $h$ как левое действие монады $T$ на тождественный функтор категории $X$: $T \circ Id_X \overset{h}{\to} Id_X$. (я использую нотацию для композиции $f \circ g = g(f())$; и категория $X^X$ у меня моноидальна относительно именно такой композиции )

Исходя из такого понимания, у меня получился коммутативный квадрат, практически совпадающий с квадратом из книги. А именно, вот такой: $$\xymatrix{T^2x \ar[d]_{\mu_x} \ar[r]^{h_{T_{x}}} & Tx \ar[d]^{h_x}\\ Tx \ar[r]_{h_x} & x }$$ Отличие всего лишь в верхней стрелке! (замена $h$ на $h_x$ - это просто косметическое улучшение обозначений из книги; оно ни на что не влияет).

Диаграмма $$\xymatrix{x \ar[r]^{\eta_x} \ar[rd]_{1} & Tx \ar[d]^{h_x}\\ . & x }$$ для единицы совпала полностью.

Очевидно, это не может быть простым совпадением. Скорее всего, я верно уловил основную мысль о том, что $T$-алгебры определяются как левое (относительно "моей" композиции) действие монады $T$ на тождественный функтор категории $X$. К сожалению, такая инвариантная формулировка в книге не была приведена. В связи с этим 2 вопроса:

1) Верная ли идея?
2) Точно ли должна быть стрелка $Th$ (которую следовало бы обозначить $Th_x$) , а не $h_{T_{x}}$ как у меня? (Проблема в том, что стрелка $Th$ фигурирует не только в книге, но и в статье в википедии; но там могли и просто списать с книги)


Есть еще 1 момент. Маклейн пишет:
Цитата:
Морфизм $T$-алгебр $f:(x, h) \to (x', h')$ - это стрелка $f:x \to x'$ в категории $X$, для которой коммутативна диаграмма $$\xymatrix{x \ar[d]_{f} & Tx \ar[d]^{Tf} \ar[l]_{h}\\ x' & Tx' \ar[l]_{h'}}$$


Инвариантно, хочется понимать морфизм $T$-алгебр как морфизм двух действий монады $T$. Но действия то здесь всегда на тождественный функтор! Поэтому морфизмом действий должна называться стрелка $f: Id_X \to Id_X$ ($f$ - это естественное преобразование; написал для сверки). А значит компонента $f_x$ этого естественного преобразования должна иметь вид $f_x: x \to x$. Теперь я смотрю в цитату из Маклейна, там написано
Цитата:
это стрелка $f:x \to x'$
Как и выше со стрелкой $h$ тут должно быть $f_x$, а не $f$ (компонента, а не все естественное преобразование). Но $f_x$ имеет вид $f_x: x \to x$ а тут написано $x \to x'$. Еще одно несовпадение. С ним тоже хотелось бы разобраться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group