Шутц, геом. методы матфизики: подъём индексов и определители

[Ascold]

При выводе формулы (4.42) http://alexandr4784.narod.ru/schutc/bsch413.pdf поднятием индексов n-формы $\tilde\omega$ вводится n-вектор $\omega'$ :

$$(\omega')^{ij..k}=g^{il}g^{jm}..g^{kr}\omega_{lm..r},$$

а далее из
(4.39) и (4.40) http://alexandr4784.narod.ru/schutc/bsch412.pdf должно получаться(здесь $g=\det(g_{ij})$)

$$(\omega')^{ij..k}=|g|^{1/2}\det(g^{lm})\varepsilon^{ij..k}.$$

Что получается у меня: из (4.40) следует, что в произвольной СК $\omega_{ij..k}=|g|^{1/2}\varepsilon_{ij..k}$ и подставляю в первую формулу:

$$(\omega')^{ij..k}=g^{il}g^{jm}..g^{kr}|g|^{1/2}\varepsilon_{lm..r}=|g|^{1/2}\varepsilon^{ij..k},$$

безо всяких $\det(g^{lm}).$ Что я делаю не так?

[svv]

Антисимметричные символы Леви-Чивиты $\varepsilon_{ij...k}$ и $\varepsilon^{ij...k}$ не являются тензорами в собственном смысле слова (абсолютными тензорами), а лишь тензорами в расширенном смысле (в терминологии Шутца — тензорными плотностями весов $-1$ и $+1$ соответственно, пункт 4.10). Вот два проявления этого (тесно связанные):
1) Выражения $\varepsilon_{ij...k}\boldsymbol{\omega}^i\otimes\boldsymbol{\omega}^j\otimes...\otimes\boldsymbol{\omega}^k$ и $\varepsilon^{ij...k}\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j\otimes...\otimes\mathbf e_k$ не являются инвариантами, как это было бы для абсолютных тензоров: они зависят от выбора базиса.
2) Закон преобразования компонент символов Леви-Чивиты при замене базиса отличается от обычного тензорного:
$\begin{array}{l}\varepsilon_{i'j'...k'}=J^{-1} \Lambda^p{}_{i'} \Lambda^q{}_{j'}... \Lambda^r{}_{k'} \varepsilon_{pq...r}\\[1ex]\varepsilon^{i'j'...k'}=J^{+1}\Lambda^{i'}{}_p \Lambda^{j'}{}_q... \Lambda^{k'}{}_r \varepsilon^{pq...r}\end{array}$
где $J=\det(\Lambda^\ell{}_{m'})$, определитель матрицы перехода от исходного базиса к штрихованному. Именно такой закон обеспечивает, что эти компоненты, «преобразуясь» при замене базиса, в действительности остаются неизменными в любом базисе.

Выражения $|g|^{1/2}$ и $|g|^{-1/2}$ также являются тензорными плотностями весов $+1$ и $-1$ соответственно. При умножении тензорных плотностей их веса складываются. Поэтому объект с компонентами
$\begin{array}{l}V_{ij...k}=|g|^{1/2} \varepsilon_{ij...k}\\[1ex]V^{ij...k}=s|g|^{-1/2} \varepsilon^{ij...k}\end{array}$
является уже плотностью веса $0$, то есть абсолютным тензором (зачем нужен множитель $s=\operatorname{sign}g$ — отдельная тема). Для этого тензора справедливы обычные правила поднятия и опускания индексов:
$\begin{array}{l}V_{ij...k}=g_{ip}g_{jq}...g_{kr} V^{pq...r}\\[1ex]V^{ij...k}=g^{ip}g^{jq}...g^{kr} V_{pq...r}\end{array}$

Из сказанного следует, что
3) для символов Леви-Чивиты, как плотностей веса $\neq 0$, эти правила не выполняются:
$\begin{array}{l}\varepsilon_{ij...k}=s|g|^{-1} g_{ip}g_{jq}...g_{kr} \varepsilon^{pq...r}=\det(g^{\ell m}) g_{ip}g_{jq}...g_{kr} \varepsilon^{pq...r}\\[1ex]\varepsilon^{ij...k}=s|g|\quad g^{ip}g^{jq}...g^{kr} \varepsilon_{pq...r}=\det(g_{\ell m}) g^{ip}g^{jq}...g^{kr} \varepsilon_{pq...r}\end{array}$

Ascold в сообщении #1583267 писал(а):

$$(\omega')^{ij..k}=g^{il}g^{jm}..g^{kr}|g|^{1/2}\varepsilon_{lm..r}{\color{magenta}=|g|^{1/2}\varepsilon^{ij..k}}$$

$=s|g|^{-1/2}\; s|g|g^{il}g^{jm}...g^{kr}\varepsilon_{lm...r} =s|g|^{-1/2}\varepsilon^{ij...k} =|g|^{1/2}\det(g^{lm})\varepsilon^{ij...k}$

[Ascold]

Спасибо.

svv в сообщении #1583330 писал(а):

Выражения $|g|^{1/2}$ и $|g|^{-1/2}$ также являются тензорными плотностями весов $+1$ и $-1$ соответственно. При умножении тензорных плотностей их веса складываются. Поэтому объект с компонентами
$\begin{array}{l}V_{ij...k}=|g|^{1/2} \varepsilon_{ij...k}\\[1ex]V^{ij...k}=s|g|^{-1/2} \varepsilon^{ij...k}\end{array}$
является уже плотностью веса $0$, то есть абсолютным тензором

Правильно я понимаю, что это вытекает из того, что если расписать базисную форму объёма $\tilde\omega$ в ортонормированном базисе $\tilde\omega^i$, а затем перейти к произвольному $\tilde\omega'^i$, то в нём

$$\tilde\omega=\det\Lambda^i_j'\tilde\omega'^1\wedge...\wedge\tilde\omega'^n=\sqrt{|\det g_{mk}|}\tilde\omega'^1\wedge...\wedge\tilde\omega'^n$$

и через это интерпретировать штрихованные компоненты формы объёма как $\varepsilon_{1...n}\sqrt{|\det g|}$ как компоненты истинного тензора или можно увидеть это как-то иначе?

[svv]

Да. Фактически, дело сводится к тому, чтобы доказать инвариантность формы (4.40) из упражнения 4.13.

Можно так. Определим в некотором базисе $V_{ij...k}=|g|^{1/2} \varepsilon_{ij...k}$. Считая, что при замене базиса компоненты преобразуются по тензорному закону, найдём
$V_{p'q'...r'} =\Lambda^i{}_{p'}\Lambda^j{}_{q'}...\Lambda^k{}_{r'}V_{ij...k} =|g|^{1/2}\Lambda^i{}_{p'}\Lambda^j{}_{q'}...\Lambda^k{}_{r'}\varepsilon_{ij...k}$
Это выражение антисимметрично по любой паре индексов (штрихованных), и потому
$V_{p'q'...r'}=\bigl(|g|^{1/2}\Lambda^i{}_{1'}\Lambda^j{}_{2'}...\Lambda^k{}_{n'}\varepsilon_{ij...k}\bigr) \varepsilon_{p'q'...r'} \stackrel{(4.39)}{=} |g|^{1/2}\det(\Lambda^\ell{}_{m'})\varepsilon_{p'q'...r'}$
$=\operatorname{sign}\det(\Lambda^\ell{}_{m'})|g'|^{1/2}\varepsilon_{p'q'...r'}$
Если использовать только базисы определённой ориентации (о чём Шутц говорит на стр.167), то $\operatorname{sign}\det(\Lambda^\ell{}_{m'})=1$, и определение становится инвариантным.