Натуральное уравнение кривой

[cybertourist]

Добрый день.
Задача из Мищенко Соловьев Фоменко, сборник задач по дифференциальной геометрии:
Составить натуральное уравнение кривой:
$x=a \cdot \cos^3 t, y=a \cdot \sin^3 t$

Не подскажете есть ли какой-нибудь отличный от подсчета в лоб натурального параметра и потом второй производной способ? Даже у вольфрама пятиэтажные формулы получаются при таком подходе.
Ответ к задаче короткий, поэтому подозреваю что такой способ есть:
$R^2+4s^2-6as=0$, где $R=1/k$

[svv]

Пусть $t\in[0;\frac{\pi}{2}]$ (чтоб не писать модулей).
$\frac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=3 a\sin t\cos t,$
откуда находим интегрированием, считая $s(0)=0$:
$s=\frac 3 2 a\sin^2 t$
Когда Вы решали задачу 4.1е, радиус кривизны астроиды получился (см. ответы)
$R=3a \sin t\cos t $
Остаётся из двух последних уравнений исключить $t$.

-- Пт фев 24, 2023 17:53:10 --

cybertourist в сообщении #1583098 писал(а):

Даже у вольфрама пятиэтажные формулы получаются при таком подходе.

Это успокаивает: пока это так, мы нужны.