rightwaysВот полное доказательство:
Теорема. Уравнение

не имеет решений в натуральных числах.
Доказательство. Предположим, что

для некоторого

. Тогда

,

,

, и четвёрка

является новым решением рассматриваемого уравнения. Будем проделывать данную процедуру пока у

есть делители вида

. Таким образом, можно считать, что

не имеет простых делителей вида

. Значит,

-- чётное число, так как в противном случае рассматриваемое уравнение не имеет решений по модулю 4. Предположим, что

. Тогда получим уравнение

неразрешимость которого доказана.
Значит,

, где

. Преобразуем рассматриваемое уравнение.

Тогда символ Якоби

равен единице, что невозможно. Из

следует

. Тогда

и

.