rightwaysВот полное доказательство:
Теорема. Уравнение
![$$ x^3 + y^2 + z^2 = (8n + 6)xyz $$ $$ x^3 + y^2 + z^2 = (8n + 6)xyz $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/6/9f67ffabda3da3d5600ae64c757bc53982.png)
не имеет решений в натуральных числах.
Доказательство. Предположим, что
![$p \mid x$ $p \mid x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/8/8b8e73d6fc666352c03841ee8207d0b382.png)
для некоторого
![$p \equiv 3 \pmod{4}$ $p \equiv 3 \pmod{4}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/8/4282417f99f40e2aa89ca7b198a98dfb82.png)
. Тогда
![$p^2 \mid x$ $p^2 \mid x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/0/c30e9f127e1f9d0a0d87a57d845cb99e82.png)
,
![$p^3 \mid y$ $p^3 \mid y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/2/c62caf9ac655bcbe9553469d18f19b1b82.png)
,
![$p^3 \mid z$ $p^3 \mid z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/0/1c021f451c75e134ec5e15f6d3e5e0b882.png)
, и четвёрка
![$(\frac{x}{p^2}, \frac{y}{p^3}, \frac{z}{p^3}, p^2(8n+6))$ $(\frac{x}{p^2}, \frac{y}{p^3}, \frac{z}{p^3}, p^2(8n+6))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/7/e57f47e129a893472ba234bb00eb9b4682.png)
является новым решением рассматриваемого уравнения. Будем проделывать данную процедуру пока у
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
есть делители вида
![$4k + 3$ $4k + 3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/0/6e0830325d91967fc9bed09ebf47b64982.png)
. Таким образом, можно считать, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не имеет простых делителей вида
![$4k + 3$ $4k + 3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/0/6e0830325d91967fc9bed09ebf47b64982.png)
. Значит,
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
-- чётное число, так как в противном случае рассматриваемое уравнение не имеет решений по модулю 4. Предположим, что
![$4 \mid x$ $4 \mid x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/5/265b5df32097dfee4700e392ca7e2b8882.png)
. Тогда получим уравнение
![$$ (\frac{x}{4})^3 + (\frac{y}{8})^2 + (\frac{z}{8})^2 = 4(8n + 6)\frac{x}{4}\frac{y}{8}\frac{z}{8}, $$ $$ (\frac{x}{4})^3 + (\frac{y}{8})^2 + (\frac{z}{8})^2 = 4(8n + 6)\frac{x}{4}\frac{y}{8}\frac{z}{8}, $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/a/cea64a462678bb895acad2e090a61a8d82.png)
неразрешимость которого доказана.
Значит,
![$x = 2x_1$ $x = 2x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/211082c93510aa9a07962b621ff2e4c382.png)
, где
![$x_1 \equiv 1 \pmod{4}$ $x_1 \equiv 1 \pmod{4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/4/70416698ca51bf5883b2e2ca90f4871e82.png)
. Преобразуем рассматриваемое уравнение.
![$$ (y - (8n+6)x_1z)^2 - (4(4n+3)^2x_1^2 - 1)z^2 = -8x_1^3 $$ $$ (y - (8n+6)x_1z)^2 - (4(4n+3)^2x_1^2 - 1)z^2 = -8x_1^3 $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/4/d046976ed2135a3d7efcacb3952b777082.png)
Тогда символ Якоби
![$\left(\frac{-2x_1}{(8n+6)x_1 + 1}\right)$ $\left(\frac{-2x_1}{(8n+6)x_1 + 1}\right)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/8/a78b41ed5bc174c8134347033b2ab00182.png)
равен единице, что невозможно. Из
![$x_1 \equiv 1 \pmod{4}$ $x_1 \equiv 1 \pmod{4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/4/70416698ca51bf5883b2e2ca90f4871e82.png)
следует
![$ (8n+6)x_1 + 1 \equiv 7 \pmod{8}$ $ (8n+6)x_1 + 1 \equiv 7 \pmod{8}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/7/12758c14b4694917de7ec4e5e6b0aff482.png)
. Тогда
![$\left(\frac{-2}{(8n+6)x_1 + 1}\right) = -1$ $\left(\frac{-2}{(8n+6)x_1 + 1}\right) = -1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/2/2e2d4ecb62a45c543c8d78d2bcc4dd6182.png)
и
![$\left(\frac{x_1}{(8n+6)x_1 + 1}\right) = \left(\frac{(8n+6)x_1 + 1}{x_1}\right) = 1$ $\left(\frac{x_1}{(8n+6)x_1 + 1}\right) = \left(\frac{(8n+6)x_1 + 1}{x_1}\right) = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/d/e2d557e2e3cbde7e32dd15229b4d3b5082.png)
.