Задача о многочленах

[Narn]

Вопрос, собственно, по условию задачи. Вот оно:

Цитата:

Пусть $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ - полином степени $n$, у которого $n$ корней, лежащих снаружи единичной окружности. Докажите, что $\frac{a_k}{a_0}<C_n^k$, где $C_n^k$ - биномиальный коэффициент.

Мне кажется, что из формул Виета мгновенно вытекает, что указанное неравенство (с модулем, которого в условии нет) справедливо для всех $k$ при условии, что корни внутри единичной окружности. В приведенной формулировке утверждение для всех $k$, очевидно, неверно ($P(x)=(x-2)(x-3)(x-4)$). Прав ли я, предполагая, что здесь опечатка в условии, и надо читать "внутри" и доказывать для всех $k$? Или надо понимать как-то по-другому (уж больно просто получается)?

[nworm]

А у меня почему-то получается, что всё верно

$(x-2)(x-3)(x-4)=x^3-9x^2+26x-24$
$\frac{1}{-24}<6$
$\frac{-9}{-24}<3$
$\frac{26}{-24}<3$

Получается, что

1. $a_k/a_0$ представляет собой сумму $C_n^k$ слагаемых (например, $26/(-24)=-2*(-3)/(-24)+(-3)*(-4)/(-24)+(-2)*(-4)/(-24)$),

2. модуль каждого из которых меньше 1 (корни лежат снаружи единичной окружности).

[ewert]

Попробуем перевести на более естественный язык. Рассмотрим многочлен $P_n(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n$. Предположим, что все корни внутри единичной окружности. Тогда, как совершенно верно было замечено, при раскрытии скобок коэффициент при $x^k$ получается суммированием $C_n^k$ произведений корней -- и, следовательно, $|a_k|<C_n^k$.

Исходная задача сводится к этой заменой $x$ на ${1\over x}$. Соответственно, условие "все корни вне единичной окружности" -- правильное.

[Narn]

Только сейчас заметил, что $a_0$ - не коэффициент при старшем члене, а свободный член... Извините.

Елки-палки, вот что значит привычка! Всегда пишу на автомате $a_0x^n+...+a_n$! А тут проморгал.

Спасибо.