Опять вроде очевидный момент, но как доказать?

[artempalkin]

Допустим, $f\in L_1[a,b]$. Дополним ее до всей прямой нулем и рассмотрим такой интеграл:

$$\int_a^b(f(x+\Delta x)-f(x))dx$$

ну и, конечно, по логике при стремлении $\Delta x$ к нулю нам хотелось бы, чтобы интеграл этот стремился к нулю. Так оно и будет, достаточно разбить этот интеграл на два через разность, обрезать первый там, где функция равна нулю, и останется что-то вроде $\int_{b-\Delta x}^bf(x)dx$, что стремится к нулю, что следует из абсолютной непрерывности интеграла Лебега.

А если $f\in L_2[a,b]$, тоже дополним нулем, и интеграл выглядит так

$$\int_a^b(f(x+\Delta x)-f(x))^2dx?$$

По идее все должно быть так же, но как доказать? Я пытался возводить в квадрат, но там появляется член $\int_a^bf(x+\Delta x)f(x)dx$, с которым решительно непонятно, что делать... опять же, вроде бы все очевидно, но как строго доказать?

[Null]

Каждое слагаемое стремится к $\int_a^bf^2(x)dx$?

[artempalkin]

Null в сообщении #1582177 писал(а):

Каждое слагаемое стремится к $\int_a^bf^2(x)dx$?

Вы спрашиваете меня? Ну, интуитивно, конечно, стремится. Но как это доказать - не знаю. Первое без проблем $\int_a^bf^2(x+\Delta x)dx$ можно заменить на $\int_a^bf^2(x)dx$ с точностью до малого слагаемого (как раз по абсолютной непрерывности интеграла Лебега, как и в случае с $L_1$). Но вот с перекрестным что делать...

[RIP]

Стандартно: для непрерывной функции это легко, а дальше воспользоваться плотностью непрерывных функций в $L_2$.

[krum]

А вот мне почему-то кажется, что если $f\in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$ и если для любого интервала $(a,b)$

$$\sup_{h\ne 0}\Big\|\frac{f(\cdot+h)-f(\cdot)}{h}\Big\|_{L^2(a,b)}<\infty$$

то $f\in C(\mathbb{R})$.

[Ende]

artempalkin
Пожалуйста, давайте темам более содержательные названия.

[artempalkin]

Ende в сообщении #1582258 писал(а):

Пожалуйста, давайте темам более содержательные названия.

Постараюсь. Честно скажу, думал какое-то время над названием, но ничего содержательнее не придумал... Типа, "Интеграл от функции в L_2" было бы лучше? В общем, постараюсь :)

[Ende]

artempalkin в сообщении #1582259 писал(а):

Типа, "Интеграл от функции в L_2" было бы лучше?

Да. Из названия темы должно быть понятно как минимум к какой области математики она относится.

[artempalkin]

RIP в сообщении #1582196 писал(а):

Стандартно: для непрерывной функции это легко, а дальше воспользоваться плотностью непрерывных функций в $L_2$.

Хммм, да, спасибо, это самый простой вариант... Хотелось бы чего-то более "прямого", но да...
Тут возникает вопрос, а как доказать, что близкая функция даст близкое значение интеграла... ведь тут же близость по норме $L_2$. Но это, кажется, доказать попроще.

krum в сообщении #1582245 писал(а):

$f\in L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$

А что это за класс? Локально интегрируемые функции?

[RIP]

artempalkin в сообщении #1582262 писал(а):

Тут возникает вопрос, а как доказать, что близкая функция даст близкое значение интеграла...

Неравенство треугольника. Вам нужно получить малость нормы $\lVert f_{\Delta}-f\rVert=\lVert f_{\Delta}-f\rVert_{L_2[a,b]}$, где $f_{\Delta}(x)=f(x+\Delta)$. Если $g$ — приближение для $f$, то $\lVert f_{\Delta}-f\rVert\leqslant\lVert g_{\Delta}-g\rVert+\lVert f_{\Delta}-g_{\Delta}\rVert+\lVert g-f\rVert$. При этом $\lVert f_{\Delta}-g_{\Delta}\rVert\leqslant\lVert g-f\rVert$.