VAL писал(а):
Hа площади перед ратушей собралась толпа ковбоев. По сигналу каждый из них одновременно со всеми стреляет в ближайшего к себе ковбоя. Какой максимальный процент ковбоев может остаться в живых, если каждый выстрел смертелен?
Возможно 4/5 выживших (при числе ковбоев кратном 10), но не более этого.
Так как у одного ковбоя может оказаться несколько ближайших, он выбирает любого из них в качестве жертвы, мы же выбираем наиболее оптимальный случай.
Два ковбоя, могут имень ближайшим (своей жертвой) одного и того же ковбоя, только если они образуют с ним угол не менее
. Причем, случай
возможен только когда ковбои образуют правильный треугольник.
На рисунке
верхняя синяя точка - ковбой, ближайший ко второму ковбою (нижняя синяя точка). Он может быть также ближайшим для третьего ковбоя, если тот расположен в допустимой (красной) области: выше прямой, разделяющей синие точки (чтобы верхняя синяя синяя точка была ближайшей для третьей) и вне окружности с центром в нижней и проходящей через верхнюю синюю точку (чтобы верхняя синяя точка как прежде оставалась ближайшей к нижней).
Значит один ковбой-жертва (|) может быть ближайшим не более чем для шести других ковбоев-убийц (0):
-------0-------0-------
---0-------|-------0---
-------0-------0-------
Разобъем ковбоев на группы, состоящие из жертвы и ее убийц, не являющихся при этом жертвами кого-либо (выжившие). Рассмотрим процент выживших по одной такой группе или нескольким связанным группам.
При шести убийцах одной и той же жертвы, для самого ковбоя-жертвы (|) ближайшим (его жертвой) является один из его шести убийц (2):
-------0-------0-------0'-------
---0-------|<---->2-------0'-- (стрелками показаны убийства)
-------0-------0-------0'-------
То есть, при такой схеме на первую жертву (|) приходится не более пяти ее убийц-ничьих не жертв (0). А на жертву (2) уже не более трех (0') убийц-ничьих не жертв. Выживших не более 8/10 (80%).
Для случая пяти убийц жертвой самой жертвы (2) не обязательно будет один из ее убийц, но тогда расположение правильного шестиугольника для жертвы (|) сохраняется:
-------0-------0-------------- ------- -------0-------0--------------------
-----------------------0'----- ------- -----------------------0'---0''-----
---0-------|------>2<->3---- или ------0-------|----->2-->3<->4--- или...
-----------------------0'----- ------- -----------------------0'---0''-----
-------0-------0-------------- ------- -------0-------0--------------------
Выживших не более 7/9 (77,7%) или 9/12 (75%) или... 2/3 (66,7%).
Если же для пяти убийц жертвой жертвы стал один из ее убийц:
--------0------0'-----------
--0------------------0'-----
--------|<--->2------------
--0------------------0'-----
--------0------0'------------
то выживших не более 4/5 (80%)
Если число убийц жертвы не превосходит четырех, то выживших опять не более 4/5 (80%)
--------0------------
--0------------------
--------|---->2-----
--0------------------
--------0------------
Значит и общей процент выживших ковбоев может достигать 80% но не выше.
Пробелы в третьем (двойном) рисунке схлопнулись и вообще - криво отображает. Исправил.
11.07.2008, 19:35 
каждый ковбой выбирает жертву согласно равномерному распределению. Затем они начинают стрелять: если ковбой жив, то он убивает свою жертву; если жертва уже мертва, то ничего не происходит. Вопрос: какие множества могут остаться на окружности после того как все ковбои отстрелялись?