Кроме тождественного отображения и отображения "все в одну точку" существуют ли еще какие-нибудь непрерывные отображения этого пространства в себя?
Могут и не существовать (в смысле есть пространство, для которого не существуют), но я не знаю, как до этого самостоятельно додуматься.
А что, хаусдорфовость обязательно надо упоминать?
Пример нехаусдорфова пространства, непрерывное отображение которого в себя обязательно тождественно, строится элементарно, поэтому неинтересно.