Задача про предел функции.

[Maxim19]

Здравствуйте, встретил задачу, в которой по-моему недосказанность: предел функции $f(x)$ при $x$ стремящемся к нулю равен нулю. При устремлении икс к нулю $\frac{f(x)-f(2x)}{x}$ также стремится к нулю. Вопрос: стремится ли к нулю при устремлении к нулю икса $\frac{f(x)}{x}$. Тут всё легко, если предел этого отношения вообще существует и конечен, а что делать с бесконечным или вообще без предела? Пытался составить пример, где почти всегда это отношение стремится к нулю кроме последовательности $a,a^{-2},a^{-4}...$ например, но примеры не подходят, сдаётся мне что всё же то отношение стремится к нулю. Помогите кто может пожалуйста.

[artempalkin]

Не, не будет предел обязательно равен $0$.

Рассмотрим следующей отношение эквивалентности на $\mathbb{R}^+$ такое вот: $x\sim y$, если $x=2^ny$ для некоторого $n\in\mathbb{Z}$ (будем для удобства рассматривать только положительные числа, этого хватит).

Таких классов эквивалентности будет даже не счетное число, а континуум. Вытащим из него счетное множество классов: $X_1, X_2, ...$ (с помощью аксиомы выбора, либо, я думаю, можно и конструктивный способ придумать, это роли не играет).

(например, для каждого нечетного числа взять его класс эквивалентности, они не пересекутся)

И на каждом классе эквивалентности определим функцию $f_n:X_n\to\mathbb{R}$ такую, что, например, $f_n(x)=nx^2$. Ну и рассмотрим в итоге функцию $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$, которая работает на каждом числе как соответствующая $f_n$.

Кажется, такая функция будет контрпримером. В любой окрестности нуля $f(x)/x$ принимает сколь угодно большое значение.

-- 09.02.2023, 12:46 --

Не, не работает, т.к. $f$ сама по себе тоже не будет ограничена в окрестности нуля. Но по крайней мере какие-то такие мысли...

[Maxim19]

Я вот тоже пытался подобрать, но не работает. Может всё же там имеется ввиду, что предел есть и он ограничен? Если спросили:"верно ли что предел равен...?", значит ли это, что предел есть? Иначе бы спросили будет ли вообще сходится. Попробую доказать что-то для случая, когда отношение стремится к бесконечности.

[artempalkin]

Предыдущее сообщение можно не смотреть, предел будет $0$ :)

Рассмотрим телескопический ряд $\sum_{n=-1}^{\infty}\left(f(2^{-n}x)-f(2^{-(n+1)}x)\right)=f(2x)$. Здесь мы существенно пользуемся тем, что функция стремится к нулю в нуле.

Это значит, что для $\forall x\neq 0$

$$\sum_{n=-1}^{\infty}\frac{\left(f(2^{-n}x)-f(2^{-(n+1)}x)\right)}x=\frac {f(2x)}x$$

$$\sum_{n=-1}^{\infty}\frac{f(2^{-n}x)-f(2^{-(n+1)}x)}{{2^{n+1}2^{-(n+1)}x}}=\frac {f(2x)}x$$

$$\sum_{n=-1}^{\infty}\frac 1 {2^{n+1}}\frac{f(2^{-n}x)-f(2^{-(n+1)}x)}{{2^{-(n+1)}x}}=\frac {f(2x)}x$$

При достаточно малых $x$ каждая из вторых дробей в сумме оценивается в эпсилон

$$\left|\frac{f(2^{-n}x)-f(2^{-(n+1)}x)}{{2^{-(n+1)}x}}\right|<\varepsilon$$

Тогда

$$\left|\frac {f(2x)}x\right|\leqslant\sum_{n=-1}^{\infty}\frac 1 {2^{n+1}}\left|\frac{f(2^{-n}x)-f(2^{-(n+1)}x)}{{2^{-(n+1)}x}}\right|<\sum_{n=-1}^{\infty}\frac 1 {2^{n+1}}\varepsilon<2\varepsilon$$

Делим на два с обоих сторон, чтд

[Maxim19]

Интересное решение, как к нему пришли?

-- 09.02.2023, 16:46 --

Хотя я только не могу понять, как вы оценили в эпсилон ту дробь? Там же при достаточно малых икс конечно будет близко к нулю, но и при эн в бесконечность будет возрастать.

[artempalkin]

Maxim19 в сообщении #1580917 писал(а):

Интересное решение, как к нему пришли?

Вот эта дробь $\frac {f(2x)-f(x)}x$ очень похожа на производную, но все же мы в полном смысле никогда не придем к нулю, если $x\neq 0$. Будем сколько угодно близко, но все же не... А до нуля очень важно "доползти", чтобы использовать первое условие. Вот и пришла в голову идея продолжить этот спуск до бесконечности.

Maxim19 в сообщении #1580917 писал(а):

Хотя я только не могу понять, как вы оценили в эпсилон ту дробь? Там же при достаточно малых икс конечно будет близко к нулю, но и при эн в бесконечность будет возрастать.

Пусть для $|x|<\delta$ верно, что $\left|\frac {f(2x)-f(x)}x\right|<\varepsilon$ (а такое будет вследствие существования предела).

Что тогда можно сказать про $\left|\frac {f(x)-f(x/2)}{x/2}\right|$?

[Maxim19]

Действительно, с самого начала когда прочитал, понял откуда оценка, а потом что то из головы вылетело)