Гомоморфизмы алгебры матриц

[ElfDante]

Здравствуйте!

Возник вопрос. Существуют ли нетривиальные гомоморфизмы алгебры матриц (над R или C) в R (или C) помимо следов матриц? (Иначе говоря, существуют ли нетривиальные характеры квадратных матриц кроме следов)

Заранее спасибо!

[mihaild]

Вы хотите гомоморфизм алгебры, или аддитивной группы? След не является гомоморфизмом алгебр (след произведения обычно не равен произведению следов, да и вообще в кольце матриц нет нетривиальных идеалов. Да и вообще в кольце матриц нет нетривиальных идеалов, так что любой гомоморфизм либо нулевой, либо изоморфизм.
А гомоморфизмов аддитивной группы, понятно, вагон (рассматриваете матрицы как векторное пространство и берете на нём линейный функционал).

(либо я что-то неправильно прочитал в вопросе)

[mihiv]

Определитель матрицы?

[krum]

если речь идет о гомоморфизме мультипликативных групп то не только опаределитель

[mihiv]

А,тут еще должно быть $f(x+y)=f(x)+f(y)$, так что определитель не годится.

[ElfDante]

mihaild в сообщении #1580629 писал(а):

след произведения обычно не равен произведению следов

Ужас! Я был уверен, что это не так и не проверил...

Все дело в том, что я ищу отображение матриц, которое занулялось бы на коммутаторах. След коммутаторов всегда равен нулю (собственно, поэтому я и подумал, что след - это характер алгебры). Есть ли еще подобные отображения? (Необязательно даже в С или R)

mihaild в сообщении #1580629 писал(а):

в кольце матриц нет нетривиальных идеалов

Грустно(

Спасибо за ответы!

[svv]

ElfDante в сообщении #1580660 писал(а):

Все дело в том, что я ищу отображение матриц, которое занулялось бы на коммутаторах.

Может быть, Вам "поможет" (свернуть поиски ) такое соображение: любая бесследовая квадратная матрица $C$ является чьим-то коммутатором. Доказательство, например, в статье Only Commutators Have Trace Zero.

Поэтому любой критерий того, что $C$ является коммутатором, эквивалентен условию $\operatorname{tr} C=0$.

[ElfDante]

svv в сообщении #1580663 писал(а):

Поэтому любой критерий того, что $C$ является коммутатором, эквивалентен условию $\operatorname{tr} C=0$.

А мне и не нужен подобный критерий. У меня есть в чистом виде коммутаторы и мне бы хотелось найти отображение, которое их зануляет. Оно может занулять много чего еще.

Но за интересное утверждение - спасибо!

[mihiv]

Есть, например, такой гомоморфизм: рассмотрим множество матриц, у которых в первом столбце отличен от 0 лишь элемент $a_{11}$, элементы остальных столбцов произвольные. Сопоставляем каждой такой матрице элемент $a_{11}$.

[mihaild]

ElfDante в сообщении #1580686 писал(а):

У меня есть в чистом виде коммутаторы и мне бы хотелось найти отображение, которое их зануляет

Всё-таки, какие требования на это отображение? Линейный функционал?
Тогда других нет (с точностью до умножения на константу), линейный функционал однозначно задается своим ядром (оно должно быть коразмерности 1, в данном случае - коммутаторы), и значением на произвольном элементе не из ядра (это как раз выбор константы).