2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Задача по топологии прямой
Сообщение17.02.2006, 06:18 
1.Доказать, что множества всех действительных чисел и неотрицательных действительных чисел не гомеоморфны.
2.Гомеоморфны ли множества всех рациональных чисел и неотрицательных рациональных чисел?

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 08:45 
Если бы существовал изоморфизм, то продолжался бы и до пополнения. Т.е. нет

 
 
 
 Re: Задача по топологии прямой
Сообщение17.02.2006, 11:14 
Padawan писал(а):
1.Доказать, что множества всех действительных чисел и неотрицательных действительных чисел не гомеоморфны.
2.Гомеоморфны ли множества всех рациональных чисел и неотрицательных рациональных чисел?


Я так понимаю топология обычная, тогда в ней открытый интервал и полуинтервал не гомеоморфны, а вся вещественная прямая гомеоморфна открытому интервалу, а весь луч неотрицательных вещественных чисел, гомеоморфен полуинтервалу, а значит между собой они не гомеоморфны.
а второй пункт, как правильно заметил Руст, очевидно следует из того, что если предположить наличие гомеоморфизма, то он продолжается и на пополнение, а там из пункта один видно, что его не существует, значит и здесь не существует.
Вроде бы так получается.

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 15:47 
Trueman, а как вы докажите, что интервал не гомеоморфен полуинтервалу? (на самом деле это просто. Я задал первый вопрос только для контраста со вторым).
А замечание Руста не правомерно. С таким же успехом, можно вывести, что прямая не гомеоморфна открытой полупрямой :) .

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 16:34 
Ошибаетесь. Так как при пополнении появляются только те действительные числа х, для которых есть последовательности рациональных чисел стремящихся к х как справа, так и слева. Соответственно по непрерывности пополненным числам соответствует пополненные числа образов.

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 16:38 
Padawan писал(а):
Trueman, а как вы докажите, что интервал не гомеоморфен полуинтервалу? (на самом деле это просто. Я задал первый вопрос только для контраста со вторым).
А замечание Руста не правомерно. С таким же успехом, можно вывести, что прямая не гомеоморфна открытой полупрямой :) .

Ну для доказательства не гомеоморфности можно использовать инварианты, например, связность, вообщем-то любой учебник по общей топологии поможет в этом. А Руст я так понимаю имел в виду, что пополнение множества рациональных чисел, будет множеством вещественных чисел, и тогда гомеоморфизм продолжится на пополнении причём единственным образом, чтобы соответсвующая диаграмма осталось коммутативной, ну а так как для пополнения показано, что его нет, значит и тут нет. А как вы сможете из этого вывести, что прямая не гомеоморфна открытой прямой? 8-)

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 17:14 
Trueman писал(а):
А Руст я так понимаю имел в виду, что пополнение множества рациональных чисел, будет множеством вещественных чисел, и тогда гомеоморфизм продолжится на пополнении причём единственным образом.

Итак, допустим есть гомеоморфизм phi между Q и Q+ (Q+ множество неотрицательных рациональных чисел). Как вы собираетесь продолжать его до гомеоморфизма между R и R+?
P.S. На самом деле Q и Q+ гомеоморфны :)

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 17:32 
Рассмотрим на Q функцию f(q)=sign(q+sqrt(2)). Она непрерывна на Q, но не может быть продолжена до непрерывной на R.

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 18:03 
Padawan писал(а):
Trueman писал(а):
А Руст я так понимаю имел в виду, что пополнение множества рациональных чисел, будет множеством вещественных чисел, и тогда гомеоморфизм продолжится на пополнении причём единственным образом.

Итак, допустим есть гомеоморфизм phi между Q и Q+ (Q+ множество неотрицательных рациональных чисел). Как вы собираетесь продолжать его до гомеоморфизма между R и R+?
P.S. На самом деле Q и Q+ гомеоморфны :)

Ну вроде бы ясно, что если есть отображение из Q в Q+, которое переводит сходящуюся последовательность в сходящуюся, тогда задаётся однозначно отображение из R в R+.
Вот вопрос, тогда получается, что Q+ - открытое множество?

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 18:34 
Согласен, что Q и Q+ гомеоморфны (ваш пример sign(q+..) легко позволяет разрывать при необходимости и построить такой гомеоморфизм), и R и R+ не гомеоморфны, когда R+ с закрытым концом.

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 19:11 
Я, конечно извинюсь 8-) , но что-то ничего не понял, можно подробнее как они гомеоморфны? И что это за функция, это случайно не знак числа?

 
 
 
 
Сообщение17.02.2006, 19:42 
Дробно линейные преобразования с рациональными коэффициентами позволяют строит гомеорфизмы между конечными и бесконечными интервалами, а указанные функции разрывать и "сшивать".

 
 
 
 
Сообщение18.02.2006, 04:00 
Руст писал(а):
Дробно линейные преобразования с рациональными коэффициентами позволяют строит гомеорфизмы между конечными и бесконечными интервалами, а указанные функции разрывать и "сшивать".


А можно по яснее узнать как они гомеоморфны или дайте пожалуйсто ссылку, где это можно прочесть.

 
 
 
 
Сообщение18.02.2006, 07:44 
На самом деле и эта идея ( разрывать в сопряжённых алгебраических точках и сшивать) так же оказалась не состоятельной. Я не знаю, как построить гомеоморфизм между Q и Q+ с закрытым концом (с нулём). Я ведь не тополог (даже не математик), поэтому не буду вас отвлекать со своими глупыми идеями.

 
 
 
 
Сообщение18.02.2006, 17:21 
Аватара пользователя
удалим из прямпй и полупрямой по одной точке (связанных предполагаемым гоимеоморфизмом.) Прямая и полупрямая разобьются на 2 части.
У полупрямой одна из частей имеет компактное замыкание, а у прямой замыкания обеих частей некомпактны.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group