2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Элементарная теория вероятностей
Сообщение01.02.2023, 17:35 


18/05/15
464
В задачнике Ширяева есть следующая задача. В $m$ ячеек независимым образом бросаются $n$ дробинок. Для каждой дробинки вероятность попадания в каждую конкретную ячейку равна $1/m$. Найти мат. ожидание числа непустых ячеек.

И там же дано решение. Если знаешь, что вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку равно $(1/m)^n$ и, соответственно, вероятность того, что в ячейку не попадет ни одной дробинки, равна $(1-1/m)^n$, то задача решается в одну строчку. А если не знаешь? Лично передо мной сразу встал этот вопрос и стоял столбом до тех пор, пока я не выяснил, что ответить на него можно в рамках вероятностной модели для "случайного размещения различимых дробинок без запрета (нескольким дробинкам разрешено попадать в одну ячейку)". Если что, интуитивно я понимаю, что вероятность события "все дробинки попали в одну ячейку" равна произведению вероятностей $1/m$. Но хочется ж, чтобы всё было по науке. Есть ли способ решить этот вопрос как-нибудь без того, чтобы сначала определять тип вероятностной модели, потом в рамках этой модели искать вероятность события и т.д.?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 05:35 
Заслуженный участник


23/07/08
9904
Crna Gora
ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):
Лично передо мной сразу встал этот вопрос и стоял столбом до тех пор, пока я не выяснил, что ответить на него можно в рамках вероятностной модели для "случайного размещения различимых дробинок без запрета (нескольким дробинкам разрешено попадать в одну ячейку)".
Допустим, запрещено попадание двух дробинок в одну ячейку. Вероятность попадания очередной дробинки в некоторую ячейку равна нулю, если одна из предыдущих дробинок уже попала в эту ячейку, и не равна нулю в противном случае. Это означает, что результаты бросаний дробинок не независимы — вопреки условию.

А для независимых бросаний вероятность попадания $k$ дробинок в заранее выбранную ячейку равна произведению вероятностей попасть туда для каждой из $k$ дробинок. Каждая из этих вероятностей по условию равна $1/m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 09:11 


18/05/15
464
svv в сообщении #1579829 писал(а):
А для независимых бросаний вероятность попадания $k$ дробинок в заранее выбранную ячейку равна произведению вероятностей попасть туда для каждой из $k$ дробинок. Каждая из этих вероятностей по условию равна $1/m$.

Не совсем так. Модель, в рамках которой решается задача, подразумевает различимость дробинок, т.е. играет роль то, на каком шаге попала дробинка в одну из ячеек. В модели "размещение неразличимых дробинок без запрета" вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку будет уже другой, $1/C_{m+n-1}^n$, если не ошибаюсь. Можно ли в этом случае сказать, что дробинки бросаются независимым образом? Ну, я бы сказал, что можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 10:51 
Аватара пользователя


22/07/22
314
Достаточно умножить число ячеек на вероятность одной ячейки быть непустой. И да, события ячейка пуста/полна не являются независимыми (т.к. у нас например не могут все ячейки оказаться пустыми), но матожидания складываются и для зависимых событий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 12:20 
Заслуженный участник


30/01/09
5641
ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):
Если знаешь, что вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку равно $(1/m)^n$ и, соответственно, вероятность того, что в ячейку не попадет ни одной дробинки, равна $(1-1/m)^n$, то задача решается в одну строчку. А если не знаешь?

Если не знаешь, то думаю, что до этого можно догадаться в процессе решения задачи. Не сильно заумная штука. (Однако, для кого как).
ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):
Если знаешь, что вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку равно $(1/m)^n$

Вроде как это вообще не нужно.
ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):
Но хочется ж, чтобы всё было по науке.

Это как? Не используя никаких вероятностных моделей?

-- Чт фев 02, 2023 13:46:36 --

ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):
Есть ли способ решить этот вопрос как-нибудь без того, чтобы сначала определять тип вероятностной модели,

Можно сообразить, что тут что-то похожее на схему Бернулли. Но есть важный нюанс - события зависимые. Но на вычисление матожидания это не сказывается (как уже было сказано).

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 13:23 


18/05/15
464
мат-ламер в сообщении #1579864 писал(а):
Если не знаешь, то думаю, что до этого можно догадаться в процессе решения задачи. Не сильно заумная штука. (Однако, для кого как).

Вероятность попадания всех дробинок в одну ячейку не всегда $(1/m)^n$. В модели, где дробинки неразличимы, она другая. Как из условия задачи понять, что это - именно модель размещения различимых дробинок?
мат-ламер в сообщении #1579864 писал(а):
Можно сообразить, что тут что-то похожее на схему Бернулли. Но есть важный нюанс - события зависимые

Нюанс, думаю, настолько важен, что про схему Бернули можно сразу забыть :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 13:33 
Заслуженный участник


30/01/09
5641
ihq.pl в сообщении #1579747 писал(а):
В задачнике Ширяева есть следующая задача.

ihq.pl
А какой номер этой задачи? Хочу посмотреть авторское решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 13:47 


18/05/15
464
мат-ламер в сообщении #1579869 писал(а):
А какой номер этой задачи? Хочу посмотреть авторское решение.

Не помню. Первый параграф, то ли 7, то ли 8. Дома могу глянуть..
На всяк случай, решение такое: Пусть $A_i =$ {i-ая ячейка не пуста}. Тогда $\xi = I_{A_1}+...+I_{A_2}$ есть случайная величина, равная количеству непустых ячеек. Потом нужно воспользоваться тем, что $P(A_i) = 1-P(\bar{A}_i)$, где $\bar{A}_i =$ {i-я ячейка пуста}. Дальше ясно... хотя, кому как :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 14:49 
Аватара пользователя


11/06/12
10324
стихия.вздох.мюсли
Doctor Boom в сообщении #1579858 писал(а):
Достаточно умножить число ячеек на вероятность одной ячейки быть непустой.
Да, я бы так и сделал, сильно опираясь, впрочем, на интуитивные соображения и понимая, что интуиция может врать. Но если бы меня попросили доказать строго, то какие из соображений, уже высказанных в топике, позволят кратчайшим путём найти ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
6869
Цюрих
Aritaborian в сообщении #1579887 писал(а):
Но если бы меня попросили доказать строго, то какие из соображений, уже высказанных в топике, позволят кратчайшим путём найти ответ?
Doctor Boom в сообщении #1579858 писал(а):
матожидания складываются и для зависимых событий

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 15:23 
Аватара пользователя


11/06/12
10324
стихия.вздох.мюсли
Это соображение я также смог бы привести. Стало быть, в топике просто туману лишнего навели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 16:20 


18/05/15
464
Aritaborian в сообщении #1579887 писал(а):
Да, я бы так и сделал

Да, но вопрос в том, как найти вероятность события $A_i$ ={$i$-я ячейка не пуста}. Ясно, что $P(A_i)=1-P(\bar{A}_i)$. В задачнике просто ставят перед фактом, что $P(\bar{A}_i) = (1-1/m)^n$. А почему так, не говорят. Есть две модели размещения дробинок без запрета. В одной дробинки различимы, в другой - нет. Вероятности события "ячейка пуста" в этих моделях разные. Почему, как само собой разумеющееся, выбрали одну из двух этих моделей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 19:57 


18/05/15
464
мат-ламер, немного не те координаты дал на задачу. Вот точные: задача 20, §4 Случайные величины и их характеристики, Ширяев, Эрлих, Яськов, Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями) Книга 1

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 20:05 
Заслуженный участник


23/07/08
9904
Crna Gora
Если Вы находите вероятность попадания всех дробинок в заранее выбранную ячейку, какая разница, перенумерованы они или нет?
В случае успеха они будут попадать туда в том порядке, в котором Вы их бросаете (можете им "на лету" присваивать номера от $1$ до $n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная теория вероятностей
Сообщение02.02.2023, 21:42 


18/05/15
464
svv в сообщении #1579961 писал(а):
Если Вы находите вероятность попадания всех дробинок в заранее выбранную ячейку, какая разница, перенумерованы они или нет?

Так и мне казалось, что никакой. А значение вероятности тем не менее зависит от способа считать её, коих два. Захоти я оценить интересующую вероятность экспериментально, стал бы я нумеровать дробинки. Нет, я бы считал число дробинок в каждой ячейке, и был бы, как выясняется, не прав.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group