Пусть

- компактное метрическое пространство,
![$B^{[\mathbb{R}]}(X)$ $B^{[\mathbb{R}]}(X)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/b/0cbb7bc836ea17cedfd8213cbdbf34a582.png)
- вещественная банахова алгебра непрерывных функцй на нем, и пусть рассматривается некий линейный ограниченный оператор
![$A:B^{[\mathbb{R}]}(X)\rightarrow B^{[\mathbb{R}]}(X)$ $A:B^{[\mathbb{R}]}(X)\rightarrow B^{[\mathbb{R}]}(X)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/f/17f1ca4adfbe2917174fe3ba398c09da82.png)
, а также порожденные им операторы вида
![$A_\varphi = A(e^\varphi\cdot), \varphi\in B^{[\mathbb{R}]}(X)$ $A_\varphi = A(e^\varphi\cdot), \varphi\in B^{[\mathbb{R}]}(X)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/6/a16ce4a4e2c6d3899b44a3dbb3f2fb1182.png)
. Пусть известно, что всякий такой оператор имеет собственное значение

, равное спектральному радиусу этого оператора (плюс, ему соответствует единственный собственный вектор

, и остальной спектр отделен от собственного значения зазором).
Предположим теперь, что производится комплексификация банаховой алгебры до
![$B^{[\mathbb{C}]}(X)$ $B^{[\mathbb{C}]}(X)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/8/1e825d4484cacf13fd68d65717fe20a082.png)
. Интересует, что можно сказать про спектр операторов теперь. Понятно, что у

с
![$ \varphi \in B^{[\mathbb{R}]}(X)$ $ \varphi \in B^{[\mathbb{R}]}(X)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/9/f292ad2419e2ded5074035b3fc3e90d882.png)
добавятся собственные векторы

(и сопряженные) с тем же собственным значением

. Но что насчет, например, таких:

? Будет ли для них справедливы те же выводы?
Где про это можно почитать?
Спасибо.