New Year 2023. No.3

[rsoldo]

A sequence $\{a_{n}\}$ is defined recursively as follows:
$a_{n+1}=\left(2+\frac{2}{n}\right)a_{n}-1$.
Compute $a_{1}$ such that a sequence is convergent.

[lel0lel]

Так вроде просто перейти к пределу.

-- Пн янв 30, 2023 15:22:23 --

А, нужен не предел, а возможный первый элемент. Надо тогда изучать случаи, когда последовательность зацикливается.

[zykov]

Предел понятно 1.
А первый элемент примерно 0.386294361120.
Как точно найти - пока не понятно.

[wrest]

$a_1=\ln(4)-1$

$a_{n+1}=\left(2+\frac{2}{n}\right)a_{n}-1$

$\lim \limits_{n \to \infty} a_n=1$

[zykov]

$a_{n+1}=(2+\frac2n)a_n-1=2\frac{n+1}{n}a_n-1$
Hence $a_n= 2^{n-1} n a_1 - 2^{n-2}\frac{n}{2}-2^{n-3}\frac{n}{3}-...-2\frac{n}{n-1}-1$

$\lim a_n=1$
Hence $a_1=\lim (2^{-1}\frac{1}{2}+2^{-2}\frac{1}{3}+...+2^{-n}\frac{1}{n-1}+2^{-n}\frac{1}{n})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+1)2^k}=$
$=-1+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1/2)^k}{k}=-1-2 \ln \frac12=2\ln 2 - 1$