Световое пятно на шаре

[krum]

Пусть $(X,\|\cdot\|)$ -- равномерно выпуклое нормированное пространство.
Напомним, что нормированное пространство называется равномерно выпуклым если для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что

$$\|x\|=\|y\|=1,\quad\|x-y\|\ge \varepsilon\Longrightarrow \|x+y\|\le 2-\delta.$$

В точке $z,\quad \|z\|>1$ находится источник света. Доказать, что при приближении источника к шару $\{\|x\|\le 1\}$, диаметр светового пятна на поверхности шара стремится к нулю.

-- 26.01.2023, 17:11 --

Чуть более формально, $S$ -- световое пятно на единичном шаре. Доказать:

$$\lim_{\|z\|\searrow 1}\mathrm{diam}\,S=0$$

[svv]

(Оффтоп)

Без скалярного произведения как без рук.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Лемма Рисса о почти перпендикуляре?

[Doctor Boom]

krum в сообщении #1578897 писал(а):

, что

$$\|x\|=\|y\|=1,\quad\|x-y\|\ge \varepsilon\Longrightarrow \|x+y\|\le 2-\delta.$$

Тут точно знак неравенства в ту сторону?

[svv]

Точно. Трансформируем:
$|x-y|\geqslant \varepsilon \Longrightarrow |x+y|\leqslant 2-\delta$
$|x-y|\geqslant \varepsilon \Longrightarrow 2-|x+y|\geqslant\delta$
$2-|x+y|<\delta \Longrightarrow |x-y|<\varepsilon$
Т.е. из $|x|=|y|=1$ и $|x+y|\to 2$ следует $|x-y|\to 0$.

[krum]

Задача элементарная, если что. Никаких содержательных теорем тут нет. Просто формулы переписать.

-- 31.01.2023, 20:04 --

Световым пятном будем называть множество точек $x$ таких, что

$$\|x\|=1,\quad \|tz+(1-t)x\|>1\quad \forall t\in(0,1)$$

-- 31.01.2023, 20:12 --

Очевидно достаточно проверить равенство

$$\lim_{\|z\|\to 1}\|x-z\|=0$$