Предельное распределение max через распределение sum?

[_hum_]

Пусть для достаточно широкого класса последовательностей случайных величин $\eta_1, \eta_2, \dots $ (в общем случае зависимых) имеется возможность получить асимптотику распределения для суммы $\mathcal{S}_n = \eta_1 + \eta_2 + \dots + \eta_n $ (при $n \rightarrow \infty$), имеет ли смысл на основе этого пытаться получить асимптотику распределения для максимума $\mathcal{M}_n = \max\{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n\} $?
Идея такая - аппроксимировать максимум с помощью суммы, например, используя параметризованную параметром $\gamma > 0$ функцию LogSumExp: $LSE_\gamma(x_1,\dots,x_n) = \frac{1}{\gamma}\log \sum_{i=1}^n e^{\gamma x_i} $, после чего воспользоваться результатом для сумм и перейти к пределу по параметру $\gamma \rightarrow \infty$. Может ли что-то путное из этого получиться?
Спасибо.