2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неподвижная точка.
Сообщение19.01.2023, 16:50 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Через $M\subset\mathbb{R}^m$ обозначим замкнутое множество, лежащее вне шара $B=\{|x|\le 1\},\quad M\cap B=\emptyset$, где $|\cdot|$ -- стандартная евклидова норма.

Отображение $F:M\to M$ обладает следующим свойством. Если $F(x)\ne x$ то найдется $t>1$ такое, что $x+t(F(x)-x)\in B$.

Доказать, что $F$ имеет неподвижную точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение20.01.2023, 07:21 
Заслуженный участник


13/12/05
4523
Ближайшая к $B$ точка множества $M$ должна быть неподвижной, иначе условие $x+t(F(x)-x)\in B$ при $t>1$ не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение20.01.2023, 07:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10713
Crna Gora
Допустим, неподвижной точки нет. Тогда для любого $x\in M$
krum в сообщении #1577931 писал(а):
найдется $t>1$ такое, что $x+t(F(x)-x)\in B$
или, эквивалентно, найдётся $z\in B$ и число $p\in(0;1)$ такие, что $f(x)=(1-p)x+pz$.
Из неравенства треугольника
$|f(x)|\leqslant (1-p)|x|+p|z|<(1-p)|x|+p|x|=|x|$
Итак, $|f(x)|<|x|$.

Пусть $a$ — инфимум нормы элементов $M$. Поскольку $M$ замкнуто, инфимум на нём достигается, т.е. существует $x\in M: |x|=a$. Тогда $|f(x)|<a$, хотя $f(x)\in M$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение20.01.2023, 13:25 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Да, да, конечно. А что если мы заменим $\mathbb{R}^m$ произвольным банаховым пространством :wink:

-- 20.01.2023, 13:29 --

и добавим, что $\inf\{\|z\|:z\in M\}>1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение20.01.2023, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8624
Цюрих
Кажется что вопрос эквивалентен тому, обязательно ли у последовательности $x, f(x), f(f(x)), \ldots$ существует предельная точка.
Если нет - то возьмем эту последовательность в качестве $M$, получили контрпример.
Если да - то возьмем эту последовательность, повторим процедуру еще раз, начав с предельной точки, потом еще - на каком-то счетном ординале дойдем до неподвижной точки (потому что нормы убывают, а несчетные ординалы в $\mathbb R$ не вкладываются).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение22.01.2023, 21:13 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Как-то так. Частично упорядочим множество $M:$
$x<y\Longleftrightarrow x=y,$ либо существует $t>1$ такое, что
$x+t(y-x)\in B.$
По условию задачи, имеем $x<F(x),\quad \forall x\in M.$ Дальше, понятное дело, ищем максимальный элемент в $M$; проверяем условия леммы Цорна. Пусть $C\subset M$ -- цепь и
$\rho=\inf\{\|x\|\,\mid x\in C\},\quad \rho>1.$
Пусть $K_x=\{y\in M\mid y>x,\quad \|y\|\ge \rho\},\quad x\in C.$
Очевидно, $x_1<x_2\Longrightarrow K_{x_2}\subset K_{x_1}$;
Надо проверить, что $K_x$ -- замкнуто и
$$\lim_{x\in C}\mathrm{diam}\,K_x=0.$$
Тогда $\sup C=\bigcap_{x\in C} K_x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение23.01.2023, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8624
Цюрих
Условие $x + t(y - x) \in B$ можно переписать: $y$ принадлежит выпуклой оболочке $B \cup \{x\}$. К сожалению даже на выпуклом замкнутом множестве минимум достягаться не обязан (и плюс $M$ не обязано быть выпуклым), поэтому не факт, что это полезно.
krum в сообщении #1578319 писал(а):
$x<y\Longleftrightarrow x=y,$ либо существует $t>1$ такое, что $x+t(y-x)\in B.$
Зато хотя бы из выпуклости понятно, что это отношение транзитивно.

krum, а Вы знаете решение для случая с банаховым пространством? (задача мне нравится, просто если решения никто не знает то это в ПРР)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение23.01.2023, 03:45 
Аватара пользователя


11/11/22
304
вообще-то я уже написал решение, но Вы его, похоже, не прочитали

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение23.01.2023, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8624
Цюрих

(Оффтоп)

Поскольку я процитировал и прокомментировал часть Вашего сообщения, то я его, очевидно, прочитал. Поскольку я после этого спросил, знаете ли Вы доказательство, то я, очевидно, не счел Ваш пост ни доказательством, ни даже утверждением, что Вы доказательство знаете. По той причине, что там написано "надо проверить" и дальше два утверждения, которые как минимум с прочтения мне не очевидны. Такая формулировка может быть как когда знающий решение человек дает подсказку, так и когда не знающий решения человек высказывает гипотезу, куда копать. Способа отличить эти ситуации я не знаю.
Раз Вы теперь говорите, что решение знаете, всё хорошо, буду думать, как доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение23.01.2023, 13:45 
Аватара пользователя


11/11/22
304
подробное решение

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Неподвижная точка.
Сообщение23.01.2023, 15:31 
Аватара пользователя


11/11/22
304
так, пожалуй, внятней: https://files.catbox.moe/ke4tp2.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group