Оценка параметра в экспоненциальном распределении

[vlad_light]

Пусть $X\sim Exp(\lambda )$, $Y$ -- положительная с.в. с конечной дисперсией, $I\sim \mathcal B(1,p)$ и $Z = X + IY$. Нужно по выборке из $(Z_i, I_i)_{i=1...N}$ оценить параметр $\lambda$.
Можно ли это сделать (и как) в такой формулировке или нужны дополнительные условия?

(Оффтоп)

И тот же вопрос, когда $I := -I$

[Евгений Машеров]

Ну, я бы попробовал так:
$E(Z_i)=E(X_i)+I_i E(Y_i)$
Считаем, что лучше оценить матожидание по единственному наблюдению, кроме как взять значение самого этого наблюдения, не получится, считаем регрессию $Z_i=a+b I_i$, где $a=E(X), b=E(Y)$
А уж зная матожидание иксов, перейти к лямбдам...

[ShMaxG]

Выкиньте из выборки все случаи с $I_i=1$, оставьте только $I_i=0$. Тогда $Z_i=X_i$ и параметр показательного распределения можно оценивать любым известным способом.

В общем случае нужны дополнительные данные. Иначе получается такая постановка задачи: к показательно распределенной случайной величине прибавили что-то, найти интенсивность.

-- Пт янв 20, 2023 13:37:43 --

Евгений Машеров в сообщении #1578038 писал(а):

Ну, я бы попробовал так:
$E(Z_i)=E(X_i)+I_i E(Y_i)$

Глупость какая-то написана.

[alisa-lebovski]

ShMaxG в сообщении #1578062 писал(а):

Выкиньте из выборки все случаи с $I_i=1$, оставьте только $I_i=0$. Тогда $Z_i=X_i$ и параметр показательного распределения можно оценивать любым известным способом.

Так теряем много информации. А если единиц очень много, а нулей мало? Я за то, чтобы оценить средние $Y$ и использовать тоже.

[ShMaxG]

alisa-lebovski
Мы не знаем, много или мало мы теряем, топикстартер нам ничего не рассказал, поэтому я за то, что нужно больше информации. Ничего не известно про распределение $Y$, известно ли мат. ожидание и дисперсия, известна ли зависимость $X$, $I$, $Y$ между собой. По условию выборка величины $Y$ не дана, так что оценить ее тоже не понятно как.

[alisa-lebovski]

Находим средние $Z$ отдельно при $I=1$ и при $I=0$, вычитаем, так оцениваем среднее $Y$. Далее, берем общее среднее $Z$ и вычитаем из него среднее $Y$, помноженное на среднее $I$, получаем оценку $1/\lambda$.

[vlad_light]

ShMaxG в сообщении #1578092 писал(а):

alisa-lebovski
Мы не знаем, много или мало мы теряем, топикстартер нам ничего не рассказал, поэтому я за то, что нужно больше информации. Ничего не известно про распределение $Y$, известно ли мат. ожидание и дисперсия, известна ли зависимость $X$, $I$, $Y$ между собой. По условию выборка величины $Y$ не дана, так что оценить ее тоже не понятно как.

Прошу прощения Про $Y$ действительно мало что известно, кроме того, что он положителен. Все $X, Y, I$ -- независимы. На практике $Y << X$, а также $\mathbb V Y << \mathbb V X$.

alisa-lebovski в сообщении #1578098 писал(а):

Находим средние $Z$ отдельно при $I=1$ и при $I=0$, вычитаем, так оцениваем среднее $Y$. Далее, берем общее среднее $Z$ и вычитаем из него среднее $Y$, помноженное на среднее $I$, получаем оценку $1/\lambda$.

У меня получается эта оценка равна оценке по только по $I_i=0$

(Оффтоп)

$$\mathbb EX = \mathbb E Z - \mathbb E I \mathbb E Y$$

Пусть $I_1=0, ..., I_n=0, I_{n+1}=1,..., I_{n+m}=1$, тогда

$$\frac{1}{n+m}\sum _{i=1}^{n+m}Z_i - \frac {m}{n+m}\left [ \frac 1m \sum _{i=n+1}^{n+m}Z_i - \frac 1n \sum _{i=1}^n Z_i\right ] = \frac 1n\sum _{i=1}^n Z_i$$

[Doctor Boom]

vlad_light в сообщении #1577911 писал(а):

Нужно по выборке из $(Z_i, I_i)_{i=1...N}$ оценить параметр $\lambda$.

Байесовское уточнение? Там же просто все будет, и максимально точно

-- 20.01.2023, 19:49 --

vlad_light в сообщении #1578113 писал(а):

Про $Y$ действительно мало что известно, кроме того, что он положителен

Он неизвестен? Тогда задача усложняется

[alisa-lebovski]

vlad_light в сообщении #1578113 писал(а):

У меня получается эта оценка равна оценке по только по $I_i=0$

Да, забавно получилось.

[Doctor Boom]

alisa-lebovski в сообщении #1578098 писал(а):

Находим средние $Z$ отдельно при $I=1$ и при $I=0$, вычитаем, так оцениваем среднее $Y$. Далее, берем общее среднее $Z$ и вычитаем из него среднее $Y$, помноженное на среднее $I$, получаем оценку $1/\lambda$.

Это что-то типа, имеем $x, z$, далее $z-x=y$, далее находим $x=z-y$

[Евгений Машеров]

Аккуратнее изложу свою идею.
$E(Z|I=I_i)=E(X)+I_iE(Y|I=I_i)$
И тогда имела бы смысл регрессия Z на $I_i$, а коэффициенты регрессии были бы соответствующие матожидания.
Но, увы, я сослепу решил, что там для I биномиальное распределение. А поскольку Бернулли - то ничего лучше расчёта только по тем значениям, где $I_i=0$, не получается. Если бы I принимало много значений - то так можно было бы оценить $E(y)$, как мешающий параметр, вычесть его и тем самым увеличить выборку за счёт наблюдений с $I_i\ne 0$

[ShMaxG]

Евгений Машеров
То есть, как я понимаю, регрессионный подход в данном случае (независимость + Бернулли) говорит игнорировать значения $I_i=1$. Прямая регрессии будет проведена через две точки -- средние $Z$ для $I=0$ и средние $Z$ для $I=1$. Но мат. ожидание $X$ это как раз значение прямой в $I=0$, а это и есть значение среднего $Z$ для $I=0$. А вот если бы была еще точка, скажем, $I=2$, то прямая регрессии могла бы пройти как-то иначе, оценка среднего $Y$ была бы полезной. Или если бы было $I\in\{1,2\}$ без $I=0$, то распределение $Y$ снова нужно было бы учитывать. С другой стороны, если $Y$, как говорит топикстартер, это малая величина с малой дисперсией, то ошибки оценки среднего могли бы забить среднее $Y$, этот наклон мы бы не почувствовали и провели бы прямую слишком косо. Так что хорошо сложилась ситуация с этим Бернулли.

[Doctor Boom]

Евгений Машеров
ShMaxG
А что, если мы немного дополним задачу знанием $E(Y)$ и $D[Y]$? У меня вышло вот что.
Предварительно:если мы суммируем $Z$, , то $I_i=1$, если $X$, то $I_i=0$. $m+n=N$.
$E(X)=\frac{\sum_{i=1}^{m} X_i}{m}+\frac{n\frac{(\sum_{i=1}^{m} X_i)^2}{m^2}}{(m+n)\frac{(\sum_{i=1}^{n}Z_i-nE(Y))^2}{n^2}+mD(Y)}(\frac{\sum_{i=1}^{n} Z_i-nE(Y)}{n}-\frac{\sum_{i=1}^{m} X_i}{m}){$

[alisa-lebovski]

По-моему, тема исчерпана.

[Евгений Машеров]

А я было разогнался написать программку и численно промоделировать оценки, для сравнения. Но, наконец, догадался, что B это Bernoulli, а не Binomial. Если бы $I_i$ принимали бы значения не {0,1}, а, скажем, {1,2} или {-1,1}, то можно было бы составить пару уравнений и оценить матожидания по ним. Тогда бы наличие ""второго варианта" заиграло. Но у нас упрощение, матрица уравнений треугольная, и один икс оценивается сразу, а второй и оценивать не надо, он "мешающий параметр".