Связи между различными видами сходимости

[meshok]

Доброго времени суток!
Хотел кроме трех стандартных импликаций между различными видами сходимости:
$P$ --- по мере, $d$ --- по распределению.
$\xi_n \stackrel{L^1}{\longrightarrow} \xi \Rightarrow \xi_n \stackrel{P}{\longrightarrow} \xi. $
$\xi_n \stackrel{a.s.}{\longrightarrow} \xi \Rightarrow \xi_n \stackrel{P}{\longrightarrow}\xi. $
$\xi_n \stackrel{P}{\longrightarrow} \xi \Rightarrow \xi_n \stackrel{d}{\longrightarrow}\xi. $
и теоремы Лебега:
Т. Лебега: Пусть $\xi_n \stackrel{a.s.}{\longrightarrow} \xi $ (или хотя бы $\xi_n \stackrel{P}{\longrightarrow} \xi $) и существует интегрируемая мажоранта, тогда $\xi_n \stackrel{L^1}{\longrightarrow} \xi $ и $E\xi_n \to E\xi $.
еще найти какие-нибудь. Пока нашел только две:
Аналог т. Лебега: Пусть $\xi_n\stackrel{d}{\longrightarrow} \xi $ и существует интегрируемая мажоранта, тогда $E\xi_n \to E\xi $ (Биллингсли Сх. вер. мер, стр. 51).
Т.: Пусть $0\leqslant\xi_n \stackrel{a.s.}{\longrightarrow} \xi $ и $E\xi_n \to E\xi <\infty$, тогда $\xi_n \stackrel{L^1}{\longrightarrow} \xi $ (Ширяев Вероятность, стр. 275).
Может кто-нибудь еще подкинет интересные связи между этими сходимостями .

[mihaild]

Настало время фотографии с нашего семинара по функциональному анализу, да простит меня модератор за формулы картинкой.

(картинка)

Ещё есть теорема Егорова: $\xi_n \stackrel{a.s}\longrightarrow \xi \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists A: (d(A) > 1 - \varepsilon) \wedge \xi_n \stackrel{A}{\rightrightarrows}\xi$
И теорема Рисса: у сходящейся по мере последовательности есть сходящаяся почти всюду подпоследовательность.

[krum]

mihaild в сообщении #1577838 писал(а):

Хотел кроме трех стандартных импликаций между различными видами сходимости:
$P$ --- по мере, $d$ --- по распределению.
$\xi_n \stackrel{L^1}{\longrightarrow} \xi \Rightarrow \xi_n \stackrel{P}{\longrightarrow} \xi. $
$\xi_n \stackrel{a.s.}{\longrightarrow} \xi \Rightarrow \xi_n \stackrel{P}{\longrightarrow}\xi. $
$\xi_n \stackrel{P}{\longrightarrow} \xi \Rightarrow \xi_n \stackrel{d}{\longrightarrow}\xi. $

а Вы во втором пункте уверены?

-- 18.01.2023, 22:32 --

meshok в сообщении #1577823 писал(а):

Т.: Пусть $0\leqslant\xi_n \stackrel{a.s.}{\longrightarrow} \xi $ и $E\xi_n \to E\xi <\infty$, тогда $\xi_n \stackrel{L^1}{\longrightarrow} \xi $

а что разве для неотрицательных функций сходимость в $L^1$ и сходимость мат. ожиданий это не одно и тоже?

-- 18.01.2023, 22:45 --

Ой, кстати, а что такое a.s. ? Я это в начале прочитал как a.e., думал, что это 'почти всюду" , а это, что, что-то другое?

[mihaild]

krum в сообщении #1577845 писал(а):

а что разве для неотрицательных функций сходимость в $L^1$ и сходимость мат. ожиданий это не одно и тоже?

Сходимость в $L^1$ это сходимость к нулю $E(|\xi_n - \xi|)$.

krum в сообщении #1577845 писал(а):

Ой, кстати, а что такое a.s. ?

Alsmost surely, почти наверное. Синоним "почти всюду" для вероятностных пространств.

[krum]

mihaild в сообщении #1577848 писал(а):

Сходимость в $L^1$ это сходимость к нулю $E(|\xi_n - \xi|)$.

да, это я что-то проглючил.
Однако, ко второму пункту, топикстартера, (а не Вашего :)) приведу котр пример:
$\chi_{[n,n+1]}(x)$ -- сходимость почти всюду есть, по мере нет.

-- 18.01.2023, 23:59 --

я начинаю догадываться, что в этой ветке по дефоту считают меру всего пространства=1

-- 19.01.2023, 00:02 --

а что такое сходимость по распределению?

[Combat Zone]

krum в сообщении #1577853 писал(а):

я начинаю догадываться, что в этой ветке по дефоту считают меру всего пространства=1

Да, ветка вероятностная, судя по обозначениям и утверждениям.

krum в сообщении #1577853 писал(а):

а что такое сходимость по распределению?

$\xi_n\Rightarrow\xi$, если для любого $x\in\mathbb R$ -- точки непрерывности функции распределения $F_\xi$ выполнено $F_{\xi_n}(x)\to F_\xi(x)$.
Есть другие способы определения.