Группа изометрий куба, отражение относительно плоскостей

[cybertourist]

Добрый день, в лекции по Геометрии https://youtu.be/vioaVbIvppw?t=3450 на 57:30 лектор говорит что отражений относительно плоскостей будет 24 у куба, при этом при решении задач по этой теме, я нашел в гугле что группа изометрий куба это $S_4 \times Z_2$, у меня никак эти два факта не совмещаются в голове, ведь в $S_4 \times Z_2$ элементов порядка 2 ровно $9 \times 2 + 1$, что меньше 24. Что я упускаю?

Сейчас когда печатал осознал, что должно получиться 24 "композиций отражения и поворота", в таком случае некоторые из них действительно в квадрате не будут тождественными, это верно?

[svv]

Да, верно, таковы, например, повороты на 120° вокруг одной из главных диагоналей. Там третья степень даёт тождественное преобразование.
(Подвесьте кубик за вершину и посмотрите сверху.)

[cybertourist]

svv
Благодарю за ответ. Можно уточнить, Вы про композицию какого-нибудь отражения с поворотом на 120, или просто про поворот?

[svv]

Просто поворот.

[cybertourist]

svv
Дело в том что в том видео что я скинул, до этого момента была классификация всех поворотов куба, их получилось 24. А потом сказано было утверждение, что кроме поворотов будет еще 24 отражений относительно плоскостей. Каждое отражение в квадрате будет давать тождественное преобразование, при этом я нашел утверждение что группа изометрий куба это $ S_4 \times Z_2 $, то есть по идее тут можно найти 24 элемента порядка 2, а таких тут столько не имеется потому что в $ S_4 $ их 9, соотвественно в прямом произведении будет $ 9 \times 2 + 1=19 $

[svv]

Да, извините, невнимательно прочитал и не на тот вопрос отвечал.

[svv]

Из $24$ несобственных движений куба (при которых меняется ориентация) только $9$ могут быть получены чистым отражением куба относительно какой-либо плоскости. Такие имеют порядок $2$.
Ещё одно преобразование, хоть имеет порядок $2$, не может быть получено отражением относительно плоскости. Это центральная симметрия относительно центра куба.
Ещё $8$ преобразований имеют порядок $6$, и ещё $6$ имеют порядок $4$. Ясно, что они также не могут быть получены простым отражением, а только композицией поворота и отражения.

[cybertourist]

svv
Понятно, спасибо)

[svv]

cybertourist
Могут быть сомнения: а вдруг такое-то конкретное преобразование $\pi$ на самом деле является отражением относительно какой-то плоскости, просто мы недостаточно хорошо эту плоскость искали?

Пусть $A,A',B,B'$ — вершины куба (из которых некоторые или даже все могут совпадать). Пусть под действием $\pi$ вершина $A$ переходит в $A'$ и вершина $B$ переходит в $B'$. Если $\pi$ есть отражение относительно плоскости, векторы $\overrightarrow{AA'}$ и $\overrightarrow{BB'}$ обязательно параллельны. (Векторы считаются параллельными, если хотя бы один из них равен другому, умноженному на скаляр; в частности, один или оба могут быть нулевыми.)

Значит, если найдены такие $A,A'=\pi(A),B,B'=\pi(B)$, что $\overrightarrow{AA'}$ и $\overrightarrow{BB'}$ не параллельны, можно быть уверенным, что $\pi$ — не отражение.

P.S. Вы задали отличный вопрос.