Циклическое неравенство.

[wtpph]

Пусть a,b,c - положительные числа такие, что abc=1. Докажите, что

$\frac{a}{ab+1}$ $+$ $\frac{b}{bc+1}$ $+$ $\frac{c}{ca+1}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$


Пробовал разными способами решать, как вариант сделать замену a=x/y, b=y/z, c=z/x и из циклического неравенства получить симметрическое.

[svv]

Лучше $a=\frac y x,\;b=\frac z y,\;c=\frac x z$, тогда после подстановки получится красивее:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geqslant\frac 3 2$
По крайней мере три разных способа доказательства этого неравенства можно найти в разных главах книги:
Седракян, Авоян. Неравенства. Методы доказательства.

Два замечания:
1) Оформляйте с помощью $\TeX$ и формулы в тексте, даже отдельные переменные, например:
Пусть $a,b,c$ — положительные числа такие, что $abc=1$.
2) Подобные темы размещайте в разделе «Помогите решить / разобраться (М)».
«Олимпиадные задачи» — это если автор знает решение задачи и хочет предложить её другим.