2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Начать новую тему Ответить на тему
 New Year 2023. No.1
Сообщение10.01.2023, 13:14 

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle. Prove that there is a unique pair of points $M,N$ who lying on the sides $AB$ and $CD$ for which the line $MN$ is the bisector of the angles $CMD$ and $ANB.$

 Re: New Year 2023. No.1
Сообщение12.01.2023, 18:06 

It's easy to show that there must be at least one pair $M, N$.

We just start with first point $P\in AB$, then built the bisector $PQ$ of $\angle CPD$, and after that the director $QR$ of $\angle AQB$.
Since $ABCD$ is inscribed , thus convex, $R$ is always lying between $A$ and $B$. It means that if $P=A$, the point $R$ is between $P$ and $B$, and if $P=B$ -- between $P$ and $A$.

While $P$ is moving continuously, so is $R$, and at some point they cross, which means that $P=R=N, Q=M$. So existence is proven.


This approach doesn't help us to prove uniqueness. Surely, we can introduce a variable $x=\frac{AP}{AB}, y=\frac{AR}{AB}$, define closed form for a function $f(x)=y(x)-x$ and prove that $f(x)$ is monotonous, or $f'(x) \ne0$ if $0<x<1$. Though, it's incredibly hard.

Next attempt is geometry...

 Re: New Year 2023. No.1
Сообщение19.01.2023, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя

Продлим $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $P$. Из точки $P$ как из центра рисуем вторую окружность, радиус которой равен длине касательной из точки $P$ к первой окружности. Таким образом на $AB$ и $CD$ получаем две искомых насечки $M$ и $N$.

Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group