Неравенства 10й степени

[Rak so dna]

Доказать:

1. $\left(x^5+y^5+z^5\right)^2\geq3xyz\left(x^7+y^7+z^7\right)$ для $xy+yz+zx\geq0$

2. $\left(x^2+y^2+z^2\right)^5\geq27\left(x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3\right)^2$ для $x,y,z\in\mathbb{R}$

[Rak so dna]

3. $5\left( x^{10}+y^{10}+z^{10} \right) +6\left( x^9y+y^9z+z^9x \right) \ge 0$ для $x,y,z\in\mathbb{R}$

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1576574 писал(а):

Доказать:
1. $\left(x^5+y^5+z^5\right)^2\geq3xyz\left(x^7+y^7+z^7\right)$ для $xy+yz+zx\geq0$

\footnotesize\begin{align*} & \left(a^5+b^5+c^5\right)^2-3abc\left(a^7+b^7+c^7\right) = 2\bigl(ab+bc+ca\bigr)\Bigl(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 - abc(a+b+c)\Bigr)^2 \\ &+\frac{2}{33}\sum\limits_{cyc}{\Bigl( (a+b)c^4-(a^2+ab+b^2)c^3 -\bigl(a^4-3a^2b^2+b^4\bigr)c-a^5-b^5+a^2b^2(a+b) \Bigr)^2} \\ &+\frac{1}{6}\sum\limits_{cyc}{\Bigl( a^5+(b+c)a^4-\left(b+c\right)^2a^3 - bc(b+c)a^2-\bigl(b^4-cb^3-c^2b^2-c^3b+c^4\bigr)a-b^5-c^5+bc\left(b^3+c^3\right)+b^2c^2(b+c) \Bigr)^2} \\ &+\frac{265}{28512}\sum\limits_{cyc}{\Bigl( 3a^5-(b+c)a^4-\bigl(3(b^2+c^2)+4bc\bigr)a^3+6\bigl(b^3+c^3\bigr)a^2 +\bigl(4bc(b^2+c^2)-9b^2c^2\bigr)a-3\bigl(b^5+c^5\bigr)+2bc\bigl(b^3+c^3\bigr) \Bigr)^2} \\ &+\frac{1}{363499488}\sum\limits_{cyc}{\left(\begin{gathered}177a^5+531(b+c)a^4-354\bigl(28b^2-39bc+28c^2\bigr)a^3-177(b+c)(3b^2-34bc+3c^2)a^2+{}\\\bigl(8329(b^4+c^4)-4465bc(b^2+c^2)-14631b^2c^2\bigr)a-177(b+c)\bigl(8b^4+23b^3c-67b^2c^2+23bc^3+8c^4\bigr) \end{gathered}\right)^2} \\ &+\frac{1}{28512}\Bigl(7\bigl(a^5+b^5+c^5\bigr) -11\bigl(a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+c^3(a^2+b^2)\bigr) - abc\bigl(12(a^2+b^2+c^2)-27(ab+bc+ca)\bigr)\Bigr)^2 \\ &+\frac{24275}{363499488}\Bigl(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\Bigr)^2\Bigl(41\bigl(a^3+b^3+c^3\bigr)-5(a+b)(b+c)(c+a)-83abc\Bigr)^2 \\ &+\frac{247105}{20194416}\Bigl(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\Bigr)^2\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2 +\frac{124711}{45437436}\Bigl(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\Bigr)^5 \end{align*}

(maxima code)

f(t) := (a^5+b^5+c^5)^2-3*a*b*c*(a^7+b^7+c^7) ;

r(t) := 

2*(a*b+b*c+c*a)*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2 - a*b*c*(a+b+c))^2

 + 2/33*(
    ( (a+b)*c^4-(a^2+a*b+b^2)*c^3 -(a^4-3*a^2*b^2+b^4)*c-a^5-b^5+a^2*b^2*(a+b) )^2
 + ( (b+c)*a^4-(b^2+b*c+c^2)*a^3 -(b^4-3*b^2*c^2+c^4)*a-b^5-c^5+b^2*c^2*(b+c) )^2
 + ( (c+a)*b^4-(c^2+c*a+a^2)*b^3 -(c^4-3*c^2*a^2+a^4)*b-c^5-a^5+c^2*a^2*(c+a) )^2
)

 + 1/6*(
    ( c^5+(a+b)*c^4-(a+b)^2*c^3 - a*b*(a+b)*c^2-(a^4-b*a^3-b^2*a^2-b^3*a+b^4)*c-a^5-b^5+a*b*(a^3+b^3)+a^2*b^2*(a+b) )^2
 + ( a^5+(b+c)*a^4-(b+c)^2*a^3 - b*c*(b+c)*a^2-(b^4-c*b^3-c^2*b^2-c^3*b+c^4)*a-b^5-c^5+b*c*(b^3+c^3)+b^2*c^2*(b+c) )^2
 + ( b^5+(c+a)*b^4-(c+a)^2*b^3 - c*a*(c+a)*b^2-(c^4-a*c^3-a^2*c^2-a^3*c+a^4)*b-c^5-a^5+c*a*(c^3+a^3)+c^2*a^2*(c+a) )^2
) 

 + 265/28512*(
    ( 3*c^5-(a+b)*c^4-(3*(a^2+b^2)+4*a*b)*c^3+6*(a^3+b^3)*c^2 +(4*a*b*(a^2+b^2)-9*a^2*b^2)*c-3*(a^5+b^5)+2*a*b*(a^3+b^3) )^2
 + ( 3*a^5-(b+c)*a^4-(3*(b^2+c^2)+4*b*c)*a^3+6*(b^3+c^3)*a^2 +(4*b*c*(b^2+c^2)-9*b^2*c^2)*a-3*(b^5+c^5)+2*b*c*(b^3+c^3) )^2
 + ( 3*b^5-(c+a)*b^4-(3*(c^2+a^2)+4*c*a)*b^3+6*(c^3+a^3)*b^2 +(4*c*a*(c^2+a^2)-9*c^2*a^2)*b-3*(c^5+a^5)+2*c*a*(c^3+a^3) )^2
)

+ 1/363499488*(
    ( 177*c^5+531*(a+b)*c^4-354*(28*a^2-39*a*b+28*b^2)*c^3-177*(a+b)*(3*a^2-34*a*b+3*b^2)*c^2+(8329*(a^4+b^4)-4465*a*b*(a^2+b^2)-14631*a^2*b^2)*c-177*(a+b)*(8*a^4+23*a^3*b-67*a^2*b^2+23*a*b^3+8*b^4) )^2
 + ( 177*a^5+531*(b+c)*a^4-354*(28*b^2-39*b*c+28*c^2)*a^3-177*(b+c)*(3*b^2-34*b*c+3*c^2)*a^2+(8329*(b^4+c^4)-4465*b*c*(b^2+c^2)-14631*b^2*c^2)*a-177*(b+c)*(8*b^4+23*b^3*c-67*b^2*c^2+23*b*c^3+8*c^4) )^2
 + ( 177*b^5+531*(c+a)*b^4-354*(28*c^2-39*c*a+28*a^2)*b^3-177*(c+a)*(3*c^2-34*c*a+3*a^2)*b^2+(8329*(c^4+a^4)-4465*c*a*(c^2+a^2)-14631*c^2*a^2)*b-177*(c+a)*(8*c^4+23*c^3*a-67*c^2*a^2+23*c*a^3+8*a^4) )^2
)

+ 1/28512*( 7*(a^5+b^5+c^5) -11*(a^3*(b^2+c^2)+b^3*(c^2+a^2)+c^3*(a^2+b^2)) - a*b*c*(12*(a^2+b^2+c^2)-27*(a*b+b*c+c*a)) )^2

+ 24275/363499488*(a^2+b^2+c^2-a*b-b*c-c*a)^2*(41*(a^3+b^3+c^3)-5*(a+b)*(b+c)*(c+a)-83*a*b*c)^2

+ 247105/20194416*(a^2+b^2+c^2-a*b-b*c-c*a)^2*(a-b)^2*(b-c)^2*(c-a)^2 + 124711/45437436*(a^2+b^2+c^2-a*b-b*c-c*a)^5  ;

rat(f(t) - r(t));

[Утундрий]

Калькулятор использовать можно?

[Rak so dna]

Используйте что хотите. Кстати, у этого неравенства есть доказательство намного проще.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1576574 писал(а):

Доказать:

2. $\left(x^2+y^2+z^2\right)^5\geq27\left(x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3\right)^2$ для $x,y,z\in\mathbb{R}$

\begin{align*} &\left(a^2+b^2+c^2\right)^5-27\left(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\right)^2=\\\\ &=\frac{1}{4}\sum\limits_{cyc}{c^2\left(2a^2-b^2-c^2\right)^2\left(2a^2-b^2+2c^2\right)^2}+\frac{27}{4}\sum\limits_{cyc}{a^4b^2\left(a^2-b^2\right)^2}+27a^2b^2c^2\sum\limits_{cyc}{a^2(a-c)^2} \end{align*}

(maxima code)

f(t) := (a^2+b^2+c^2)^5 - 27*(a^3*b^2+b^3*c^2+c^3*a^2)^2 ;

h0(a,b,c) := 1/4*c^2*(2*a^2-b^2-c^2)^2*(2*a^2-b^2+2*c^2)^2 + 27/4*a^4*b^2*(a^2-b^2)^2 + 27*a^4*b^2*c^2*(a-c)^2 ;

h(t) := h0(a,b,c) + h0(b,c,a) + h0(c,a,b);

rat( f(t) - h(t) );