2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ограниченность в линейном топологическом пространстве
Сообщение08.01.2023, 22:09 


18/05/15
771
Определение. Множество $M$, лежащее в линейном топологическом пространстве $E$, ограничено, если для каждой окрестности нуля $U$ существует такое $n>0$, что $\lambda U\supset M$ при всех $|\lambda|\ge n$ (учебник Колмогоров, Фомин).

Не получается доказать следующее утверждение: Пусть $M\subset E$. Если для любой последовательности $\{x_n\}\subset M$ и любой последовательности положительных чисел $\{\varepsilon_n\}$, стремящейся к нулю, последовательность $\varepsilon_n x_n$ стремится к нулю, то $M$ ограничено.

Попытка. Пусть $U$ некоторая окрестность нуля. Тогда для любого $n$ существует $k\ge 0$ такой, что $\varepsilon_{n+k}x_{n+k}\in U/n$. Если положить $\varepsilon_n=1/n$, то $x_{n+k}\in \lambda U$, где $\lambda =(n+k)/n$. И всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность в линейном топологическом пространстве
Сообщение08.01.2023, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9545
Цюрих
Тут плохо то, что $k$ зависит от последовательности.
Проще от противного.
Пусть $M$ не ограничено. Тогда существует окрестность нуля $U$ такая что $\forall n \exists \lambda \exists x \in M: (|\lambda| \geq n \wedge x \notin \lambda M)$.
Ну вот давайте и возьмем $\varepsilon_n$ и $x_n$ равными $1 / \lambda$ и $x$ для соответствующего $n$. Тогда как раз получится $\varepsilon_n \cdot x_n \notin U$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность в линейном топологическом пространстве
Сообщение08.01.2023, 23:53 


18/05/15
771
mihaild, спасибо)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group