Ограниченность в линейном топологическом пространстве

[ihq.pl]

Определение. Множество $M$, лежащее в линейном топологическом пространстве $E$, ограничено, если для каждой окрестности нуля $U$ существует такое $n>0$, что $\lambda U\supset M$ при всех $|\lambda|\ge n$ (учебник Колмогоров, Фомин).

Не получается доказать следующее утверждение: Пусть $M\subset E$. Если для любой последовательности $\{x_n\}\subset M$ и любой последовательности положительных чисел $\{\varepsilon_n\}$, стремящейся к нулю, последовательность $\varepsilon_n x_n$ стремится к нулю, то $M$ ограничено.

Попытка. Пусть $U$ некоторая окрестность нуля. Тогда для любого $n$ существует $k\ge 0$ такой, что $\varepsilon_{n+k}x_{n+k}\in U/n$. Если положить $\varepsilon_n=1/n$, то $x_{n+k}\in \lambda U$, где $\lambda =(n+k)/n$. И всё.

[mihaild]

Тут плохо то, что $k$ зависит от последовательности.
Проще от противного.
Пусть $M$ не ограничено. Тогда существует окрестность нуля $U$ такая что $\forall n \exists \lambda \exists x \in M: (|\lambda| \geq n \wedge x \notin \lambda M)$.
Ну вот давайте и возьмем $\varepsilon_n$ и $x_n$ равными $1 / \lambda$ и $x$ для соответствующего $n$. Тогда как раз получится $\varepsilon_n \cdot x_n \notin U$.

[ihq.pl]

mihaild, спасибо)