Краткий вопрос по комбинаторике слов

[Nartu]

Очевидно, что словарь без доп. условий (свободный) по конкатенации формирует моноид. А если я разобью на классы сопряженных слов, моноид тоже будет?(между классами).

Я уже знаю, что группы не получится, если я сделаю то самое в свободной (конечнопорождённой). (К стати, можно это попробовать показать, но пока я посмотрю в поиске, может уже было на форуме?)

[EminentVictorians]

Nartu в сообщении #1576466 писал(а):

Я уже знаю, что группы не получится, если я сделаю то самое в свободной (конечнопорождённой).

Ну если взять произвольную группу и просто разбить ее на классы эквивалентности, то они не обязаны сами собираться в факторгруппу. Но если отношение эквивалентности будет согласовано с операцией в самой группе, то факторгруппа получится, а нормальной подгруппой будет класс, содержащий единичный элемент группы. (В универсальной алгебре такие отношения, согласованные с операциями, называются конгруэнциями)

Ну а если факторгруппа не появляется (из просто разбиения на классы) даже для группы, то для моноида тем более. (это если я правильно понял Ваш вопрос).

А по поводу факторобъектов. Теорема о том, что факторобъект изоморфен образу некоторого морфизма выполняется при очень широких условиях (для любой алгебраической системы без отношений она точно работает). Поэтому если Вам нужен фактормоноид, я бы начинал с поиска гомоморфизма.

[Nartu]

Хммм... теорема о гомоморфизме оказалась рабочей в широком диапазоне.. не знал. Спасибо.

На счёт факторгруппы.. да, не будет, но не будет с "независимыми" классами. Противное число 2 - ведь у слов длины 2 циклическая перестановка даёт коммутирование. Теперь ясно - мы получим, максимум, своб. абелеву группу с теми же порождающими, а наши классы эквивалентности склеятся.. не все, конечно, но будут.

Я сейчас думаю, что можно просто не рассматривать классы для слов длины 2.. и считать их просто разными. Что ж получится в итоге?

Я знаю о словах Линдона - это слова, которые не являются степенью по конкатенации, наибольшие в классе цикл.перестановок слова по индуцированому порядку из алфавита. (лексический)
У них есть свойство, что слово Линдона $x$ может раскладываться в конкатенацию двух слов Линдона $y,z$ таких, что $y<z$ лексически. И это вроде как тянет на моноид, подмоноид словаря. А если порядка на алфавите нет, то нет и способа различить старшее слово в классе. Но я понял, что отсутствие порядка почти то же самое, что и изменение. Выходит, "подмоноид Линдона" хоть и состоит из представителей некоторых классов, но не любой представитель можно выбрать, как в группах.

(Оффтоп)

Может показатся, что для разных тасовок порядка на алфавите "моноиды Линдона" в словаре не пересекаются.. но их ровно факториал от размера алфавита.. а по-скольку слова могут иметь длину, существенно меньше этого числа, то среди этих "моноидов" всегда будут общие элементы.

Мне видится паралель с абелевыми группами - у них есть кручение и $\;$ $\mathbb{Z}^n$ . Слова Линдона - как эта, ..хорошая часть, а те, что остались и тоже старшие в своём классе - это как кручение.

(Оффтоп)

А нормальный базис бывает только у $\;$ $\mathbb{Z}^n$ .. $n$ даже важная штука - ранг (если максимальный).

[EminentVictorians]

Nartu в сообщении #1576561 писал(а):

На счёт факторгруппы.. да, не будет, но не будет с "независимыми" классами.

На всякий случай напишу более прозрачно. У Вас есть моноид и некоторое отношение эквивалентности $R$ на нем. Классы этого отношения будут собираться в фактормоноид тогда и только тогда, когда отношение $R$ согласовано с операцией в моноиде (т.е. является конгруэнцией). Это не просто необходимое условие, это критерий.

Все остается в силе, если заменить моноид на любую алгебраическую систему без отношений.

[Nartu]

Окей.