Операция над вектором единиц

[kthxbye]

Пусть $a(n)$ это A002487, т.е. последовательность Штерна-Броко, заданная рекуррентно через

$$a(2n) = a(n), a(2n+1) = a(n) + a(n+1), a(0) = 0, a(1) = 1$$

Пусть также

$$b(n,m,k)=[k\leqslant m\leqslant n]((b(n,m,k-1)+b(n,m+1,k-1))\operatorname{mod} 2)+[m<k\leqslant n]b(n,m,k-1)$$

$$b(n,m,0)=[0<m\leqslant n+1]$$

Я предполагаю, что

$$1+\sum\limits_{j=1}^{n}b(n,j,n)=a(n+1)$$

Проверить это можно используя следующую программу на PARI:

b(n)=my(v); v=vector(n+1, i, 1); for(i=1, n, for(j=i, n, v[j]=(v[j]+v[j+1])%2)); vecsum(v)

Можно ли это как-то доказать? Существует ли также замкнутая форма для $b(n,m,k)$ для любых $n,m,k$, чтобы значение можно было получать без рекурсии?