треугольник, решение через тригонометрию

[loser]

задача
В треугольнике АВС угол В равен 50 градусов, на сторонах
АВ и АС выбраны точки L и D соответственно так, что
угол BDC равен углу LDA и равен 70 градусов. На отрезке
LD выбрана точка К так, что угол АКС равен 130 градусов.
Найти угол КСВ.

[Сергей Михайлов]

Пусть \angle A = \alpha, \, \angle KAD = x. Применим теорему синусов много раз. Везде ниже речь идет о градусах, а не радианах.

Из треугольника AKD имеем AD/sin(70+x) = AK/sin(70)
Из треугольника AKC имеем AK/sin(50-x) = AC/sin(130)
Из треугольника ABD имеем AD / sin(70 - \alpha) = AB / sin(110)
Из треугольника ABC имеем AB / sin(50 + \alpha) = AC / sin(50)
Из второго равенства выражаем AK, подставляем в первое равенство, и из него выражаем AD: AD = AC * sin(50-x)/sin(50) * sin(70 + x)/sin(70)
Из четвертого равенства выражаем AB, подставляем в третье равенство, и из него выражаем AD: AD = AC * sin(50 + \alpha) / sin(50) * sin(70 - \alpha)/ sin(70).
Левые части последних двух равенств одинаковы, значит, одинаковы и правые части. Приравнивая их и деля на AC и умножая на sin(50)sin(70), получаем
sin(50-x)sin(70+x) = sin(50 + \alpha) sin(70 - \alpha) =>
cos(20 + 2x) - cos(120) = cos(20 - 2\alpha) - cos(120) =>
cos(20 + 2x) - cos(20 - 2\alpha) = 0 => sin(x + \alpha)sin(20 + x - \alpha) = 0. Учитывая, что 0 < \alpha < 70, \, 0 < x < \alpha, заключаем, что 0 < x + \alpha < 180, \, -50 < 20 + x - \alpha < 90. Поэтому последнее равенство возможно только если x = \alpha - 20.

Теперь находим \angle KCB = 180 - \angle CKT - \angle KTC = 180 - 50 - (180 - \angle KAD - \angle ACB) = 130 - (180 - x - (180 - \angle A - \angle B)) = 130 - (180 - x - 180 + \alpha + 50) = 130 - ( -x + \alpha + 50) = 130 + x - \alpha - 50 = 80 + (\alpha - 20) - \alpha = 60.

[kaorin]

Зачем же так сложно.
Возьмем на луче BD за точку D точку K' так, что DK=DK'. Тогда треугольник AKC равен треугльнику AK'C, отсюда четырехугольник ABCK' вписанный и угол KCA равен углу AK'C.
Угол BCK - разность ACB и KCA. Половина дуги ABC равна 130 градусам, равна сумме углов ACB и BK'C.
BCK = BCA - KCB = BCA - K'CB = BCA - (180 - BK'C - 110) = BCA + BK'C - 70 = 60.

[kaorin]

Вообще - не самая интересная геометрия, к тому же с почти очевидной идеей.

[Сергей Михайлов]

Я согласен, что решение через дополнительное построение короче. Но вот насчет того, что оно проще, это спорно. Почему это вдруг применять теорему синусов сложнее, чем придумывать дополнительное построение?

[kaorin]

Хорошо, скажу по другому. Решение через теорему синусов не вскрывает истинную природу данной задачи. К тому же оно более громоздко и менее изящно.
Применение тригонометрии (так сказать вычислительной тригонометрии) к задаче допускающей решение без нее - вопрос вкуса. По-моему вся невеликая красота этой задачи тригонометрией была убита.

[Dan_Te]

Применять тригонометрию или не применять - это вопрос владения техникой. Если человеку надо маленьким топориком срубить большое дерево, то он будет долго ходить вокруг и смотреть, куда надо ударить, чтобы оно само упало. Если же у него есть бензопила, то он просто возьмет и спилит его.
Возникает, вопрос, надо ли нам постигать истинную сущность дерева и его внутреннюю структуру, если у нас есть бензопила?

Если человек хорошо владеет тригонометрией, то применение ее при решении задачи более оправдано экономически, так как это быстрый, простой и надежный способ получить ответ.

[bot]

Бензопила - это конечно хорошо, но всё же бывает, что топорик лучше. Вот возьмём, к примеру, квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где a,b,c - некоторые функции параметра t, и спросим - при каких значениях параметра t данное уравнение имеет два корня, один больше 1, другой меньше 1?
Бензопилой свалить можно, но нужно потрудиться с исследованием дискриминанта и решением двух неравенств с радикалами.
А если топориком? Тут всё тривиально: делим уравнение на а и пишем, что полученная левая часть отрицательна при t=1.

Другой пример (из вступительных в НГУ 1992г.) воспроизвожу по памяти в вольной форме, так как нет под рукой первоисточника (в нём вся эта картина запрятана в шар вписанный в призму или пирамиду и касающийся некоторой прямой):
Имеется канал с треугольным сечением, с одного берега канала на другой переброшена палка (концы палки указываются). Требуется найти шар минимального радиуса, который касается стенок канала и палки.

Пробовали некоторые абитуриенты бензопилой (координатным методом) - не получилось.

Собственно говоря, бензопилой надо уметь пользоваться - это верно. Однако надо уметь и создавать эти бензопилы. Уж даже не говоря об эстетике, мне больше нравятся создатели топориков, пусть даже маленьких, чем виртуозы бензопилы.

[незваный гость]

Dan_Te писал(а):

Применять тригонометрию или не применять - это вопрос владения техникой.

Добавлю, что техника обладает еще одним важным свойство -- областью применения. В частности, применение тригонометрии куда проще запрограммировать, чем дополнительное построение. Тригонометрия - это, быть может более трудоемкое, но менее занимающее мозги решение. Неизящно, но работает всегда. В отличии от дополнительного построения, которое работает только в частном случае.

Приведу тоже пример -- доказать, что из равенства двух биссектрис следует равнобедрность треугольника. Я видел один раз дополнительной построение, хотел бы увидеть второй. А вот тригонометрически -- готов хоть завтра разместить.

[bot]

Ну вот, по-моему, добавить уже нечего, разве что анекдот старинный рассказать:
Двое спорщиков, чтобы разрешить свой спор, пришли к мудрецу. Выслушав первого, мудрец сказал: - Ты прав. Потом выслушал второго и сказал: - И ты прав. Присутствовавший при разговоре третий изумился: - Как же так, не могут они быть оба правы.
- Ты прав, ответил мудрец.