Вопрос по теории групп

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

. Где здесь изоморфизм?

Не знаю. Я не знаю, что такое изоморфизм с изысканной точки зрения. С моей -- так это биекция, сохраняющая соответствующие структуры. Ну так оное преобразование и биекция, и всё групповые структуры, которыя положено, сохраняет.

[RIP]

Профессор Снэйп
AlexDem имел в виду, что отображение $y\mapsto xyx^{-1}$ — изоморфизм групп $H$ и $xHx^{-1}$.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Профессор Снэйп
AlexDem имел в виду, что отображение $y\mapsto xyx^{-1}$ — изоморфизм групп $H$ и $xHx^{-1}$.

Ну а я что, должен ребусы разгадывать насчёт того, что он имел в виду. Не телепат ведь! А если просто читать написанное, так написано было, что изоморфизмом является объект $xHx^{-1}$.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

А если просто читать написанное, так написано было, что изоморфизмом является объект $xHx^{-1}$.

Изоморфизмом объект не может быть в принципе, но -- только соотв. ему преобразование. Соотв., надо лишь всего-навсего попытаться прочитать, что написано.

[AlexDem]

Да ладно - изоморфизм там в примере вообще ни причём - это я так поинтересовался. Замечание по форме изложения тоже принимается. А пример в отсутствии предположения о том, что подгруппа - силовская, по-моему верен. Так что если не догадаться, что Профессор Снэйп имел в виду, то и не докажешь обратного...

[Профессор Снэйп]

AlexDem писал(а):

А пример в отсутствии предположения о том, что подгруппа - силовская, по-моему верен.

Какой пример? Ваш? Вы не задали, чему равна группа $G$. И, как следствие, непонятно, почему подгруппы $H$ и $H'$ у Вас будут сопряжёнными.

[RIP]

AlexDem писал(а):

А пример в отсутствии предположения о том, что подгруппа - силовская, по-моему верен.

Верен. Только ему немного не хватает конкретики. Скажем, $G=S_4$, $a=(12)$, $b=(34)$.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

AlexDem писал(а):

А пример в отсутствии предположения о том, что подгруппа - силовская, по-моему верен.

Верен. Только ему немного не хватает конкретики. Скажем, $G=S_4$, $a=(12)$, $b=(34)$.

Ага. И $x=(13)(24)$

[AlexDem]

Группа $G$ по условию - произвольная конечная. Мы можем выбрать её так, чтобы в ней существовали сопряжённые подгруппы $H$ и $H'$ - это условием не запрещается (причём, то, что $H'$ - подгруппа вообще не используется). Если элементы множества $H'$ коммутируют с элементами подгруппы $H$, то в $H$ не найдётся ни одного элемента $h$, такого, что $hH'h^{-1} \ne H'$.

Добавлено спустя 1 минуту 38 секунд:

RIP писал(а):

Верен. Только ему немного не хватает конкретики.

Спасибо, я поразбираюсь с этим - будет полезно

[lofar]

В связи с этой задачей полезно вспомнить, что отношение "является нормальной подгруппой" не транзитивно. То есть, может случиться, что $H\lhd N$, $N\lhd G$, но $H\ntriangleleft G$. Если так, то для любого $x\in G$ подгруппа $H$ нормализует $H^x$ так как $H, H^x\lhd N$. Вместе с тем, имеются $x\in G$ такие, что $H^x\neq H$. Это дает отрицательный ответ на вопрос топика (не для Силовских подгрупп, конечно).

Придумать пример подобной нетранзитивности несколько сложнее, чем ответить на вопрос, который задал Профессор Снейп, тут пример c $S_4$, $(12)$ и $(34)$ не подойдет. Задача достаточно интересная, тем, кто не знает такого примера советую его найти.

Примечание. По определению $y^x=x^{-1}yx$ и $H^x=\{h^x\colon h\in H\}$. Это обозначение очень удобно потому, что $(g^x)^y=g^{xy}$. Говорят, что множество $A\subseteq G$ нормализует множество $B\subseteq G$ если $B^a=B$ для любого $a\in A$.

[AlexDem]

lofar писал(а):

Придумать пример подобной нетранзитивности несколько сложнее, чем ответить на вопрос, который задал Профессор Снейп

Хм, а подсказки есть какие-нибудь? В том смысле, чтобы заранее какие-то варианты отсечь. Ну, например, $N$ в принципе может быть коммутативной, но вдруг без этого проще?.. Что-то $G$ здоровая получается

---
Ерунду, что здесь сперва написал, стёр... Понятно, почему не получалось.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

В связи с этой задачей полезно вспомнить, что отношение "является нормальной подгруппой" не транзитивно. То есть, может случиться, что $H \lhd N$, $N \lhd G$, но $H \ntriangleleft G$.
...
Придумать пример подобной нетранзитивности несколько сложнее, чем ответить на вопрос, который задал Профессор Снейп, тут пример c $S_4$, $(12)$ и $(34)$ не подойдет. Задача достаточно интересная, тем, кто не знает такого примера советую его найти.

Зря Вы так категорично. Очень даже подойдёт

Возьмём $a=(12)$, $b=(34)$ и $c=(13)(24)$. Пусть $G$ --- подгруппа в $S_4$, порождённая $a$, $b$ и $c$. Возьмём $N = \{ 1, a, b, ab \}$ и $H = \{ 1, a \}$. Тогда $H$ --- подгруппа в $N$, а $N$ --- подгруппа в $G$. $H$ нормальна в $N$, так как $N \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ --- абелева группа. $H$ не нормальна в $G$, ибо $cHc^{-1} = \{ 1, b \} \neq H$. Осталось лишь показать, что $N$ нормальна в $G$.

В силу равенств $ac=cb$ и $bc=ca$ для любого $g \in G$ справедливо разложение $g=xy$, где $x \in N$ и $y \in \{ 1, c \}$. Теперь если $y =1$, то $gNg^{-1} = N$. Ну а если $y = c$, то всё равно $gNg^{-1} = xcNc^{-1}x^{-1} = xNx = N$, ибо $c = c^{-1}$ и $cNc = N$.

P. S. Порядок построенной группы $G$ равен $8$. Легко показать, что нужного примера с меньшим порядком группы не существует.

[lofar]

lofar писал(а):

Придумать пример подобной нетранзитивности несколько сложнее, чем ответить на вопрос, который задал Профессор Снейп, тут пример c $S_4$, $(12)$ и $(34)$ не подойдет.

Дейсвительно, заявление глупое с учетом того, что группа диэдра вкладывается в $S_4$ (что и продемонстрировал Профессор Снейп). Единственное оправдание в том, что если $H\lhd A_4$, то $H\lhd S_4$, поэтому нужный пример вида $H\lhd A_4\lhd S_4$ придумать не получится.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Единственное оправдание в том, что если $H\lhd A_4$, то $H\lhd S_4$...

Это для любого $n$ верно, или только для $n=4$? В смысле, для каких $n$ верно то, что любая нормальная подгруппа группы $A_n$ будет нормальна в $S_n$?

[lofar]

Профессор Снэйп писал(а):

Это для любого $n$ верно, или только для $n=4$?

Это утверждение верно для любого $n$, но содержательно оно только для $n=4$ ("содержательно" слишком громкое слово, конечно). Дело в том, что группа $A_n$ проста для любого $n\notin \{1,2,4\}$ ($A_1$ и $A_2$ исключаются поскольку они тривиальны).