Трещина в стакане при наливании кипятка

[y.shtunder]

Задача. Физтех отборочный этап 2020 - 2021
В высокий цилиндрический стеклянный стакан наливают кипяток. В некоторый момент времени зависимость температуры стекла от расстояния до оси цилиндра стала линейной (температура внутренней поверхности стекла равна температуре кипятка, внешней $-$ температуре комнаты $T$). Определите, какой минимальной температуры должен быть кипяток, чтобы на боковой поверхности стакана появилась трещина. Температурный коэффициент линейного расширения стекла равен $\alpha$. На рисунке изображена линейная зависимость механического напряжения от относительного удлинения, полученная в опыте по растяжению-сжатию цилиндра, изготовленного из того же стекла, что и стакан. В точках $A$ и $B$ происходило разрушение образца. Считать толщину стенки много меньше радиуса стакана, а потому изменением поперечных размеров стенки пренебречь.

Рисунок


Вариант решения:
Температурный коэффициент линейного расширения $-$ коэффициент пропорциональности между относительным увеличением размеров тела и изменением температуры, вследствие которого оно произошло. Т.о.

$\frac{\Delta l}{l_0} = \alpha \Delta T$

Т.к. при нагревании происходит расширение, значит разрушение произойдет при $ k = \frac{\Delta l}{l_0} = 0,0002$. $ \Delta T = T_\text{к} - T_{0}$, где $T_\text{к} - $ температура кипятка; $T_{0} - $ температура окружающей среды.
Значит $T_\text{к} = T_{0} + \frac{k}{\alpha}$. Если посмотреть численное значение ответа, то конечная формула должна выглядеть так:

$T_\text{к} = T_{0} + \frac{2k}{\alpha}$

Задача, вроде бы, очень простая. Но сломал голову откуда берется двойка в ответе. Двойная стенка из стекла? Внутренняя и внешняя.

Вопросы по условию:

1) В некоторый момент времени зависимость температуры стекла от расстояния до оси цилиндра стала линейной. Для чего это сказано?

2) Считать толщину стенки много меньше радиуса стакана.

Мои предположения:
Это сказано (п.1 и п.2) для того, чтобы можно было использовать уравнение $\frac{\Delta l}{l_0} = \alpha \Delta T$, которое справедливо, если температурный коэффициент линейного расширения $\alpha$ незначительно меняется при изменении температуры $\Delta T$ (п.1), а $\Delta l / l_0 \ll 1$ (п.2). Иначе необходимо решать дифференциальное уравнение.

[sergey zhukov]

y.shtunder
1) Если этого не сказать (т.е. что задачу нужно решать для равновесного профиля температуры), данных не хватает, т.к. при каком-то неравновесном профиле температуры (когда кипяток только-только налили) стекло лопнет еще раньше (больше локальный градиент температуры в стенке). Потребуется решать нестационарную задачу с учетом теплопроводности и теплоемкости стекла.

2) Это для того, чтобы можно было считать задачу одномерной. Иначе она была бы двумерной в цилиндрических координатах.

А если вот так задачу поставить? Есть плоский лист из такого же стекла, как выше. С одной стороны его обдали кипятком. Насколько он (кипяток) должен быть горячим, чтобы стекло треснуло? Ваше решение будет таким же?