Осциллирующий интеграл

[Doctor Boom]

Как мы все помним, $\int_{0}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{4a}}$. А что если вместо положительного действительного $a$ взять комплексное $z$ с $Re(z)>0$, чтобы была сходимость (она будет и при нулевой действительной части и ненулевой мнимой)? Но тогда у нас будет два комплексных корня по формуле, какой выбрать? Если с $Re(z)>0$, то почему? Что-то я не смог сходу сообразить

[Padawan]

Берем аналитическое продолжение с действительной оси в полуплоскость $\operatorname{Re} z>0$.

[Doctor Boom]

Да, точно Еще можно легко видеть, что интеграл будет иметь положительную вещ. часть, т.к. самые медленные осцилляции начинают идти вглубь положительного направления действительной оси