Рихтмайер Принципы современной математической физики

[krum]

Вот наткнулся на кунижку. Весьма интересное чтение. Расширяет кругозор, позволяет быстро войти в суть задачи и метода. Много чего туда понапихано, даже аксиоматика Цермело-Френкеля обсуждается... Но надо быть осторожным: иногда изложение становится очень кривым и вводит не в суть, а совсем в другое место. Так, например, построение интеграла Лебега мне кажется весьма несовершенным, а то, как введена операция "след функции" и вовсе...

https://files.catbox.moe/sil16w.tar

[Gagarin1968]

krum в сообщении #1575010 писал(а):

построение интеграла Лебега мне кажется весьма несовершенным

Пробежал глазами это место.
Ну почему несовершенным? Немного по-другому, непривычно, чуть более громоздко, чем, скажем, у Колмогорова и Фомина.
Но обратите внимание, что книге уже 45 лет...

[Red_Herring]

Книга написана очень известным прикладным математиков для физиков.

[krum]

Gagarin1968 в сообщении #1575016 писал(а):

Пробежал глазами это место.
Ну почему несовершенным? Немного по-другому, непривычно, чуть более громоздко

Нет, пожалуй, это даже весьма остроумная попытка построить интеграл Лебега без интеграла Лебега. Он, ведь, $L^1$ совершенно корректно определил не произнеся слово "мера Лебега". Только без сходимостей почти всюду и теорем про них все равно ни куда не уйдешь. Без той же теоремы о мажорированой сходимости. Так, что стоит ли игра свеч?

[Red_Herring]

krum в сообщении #1575124 писал(а):

олько без сходимостей почти всюду и теорем про них все равно ни куда не уйдешь

Теоремы вложения и продолжения прекрасно доказываются и без меры Лебега.

[krum]

ну не все же задачи к этому сводятся

-- 26.12.2022, 21:13 --

Функция $f(t,x)$ при почти всех $t\in [a,b]$ непрерывна по $x\in\mathbb{R}$ и при всех $x$ и почти всех $t$ верно неравенство

$$|f(t,x)|\le u(t)\in L^1[a,b].$$

Утв. Если $x(t)\in C[a,b]$ то $f(t,x(t))\in L^1[a,b]$

И что с этим всем станет делать Рихтмайер?

[Gagarin1968]

krum в сообщении #1575145 писал(а):

И что с этим всем станет делать Рихтмайер?

Ничего не станет делать. Он, к сожалению, уже давно умер.

[Red_Herring]

krum в сообщении #1575145 писал(а):

ну не все же задачи к этому сводятся

Разумеется, многие задачи требуют меры Лебега. Но ведь вы утверждали, что

krum в сообщении #1575124 писал(а):

Только без сходимостей почти всюду и теорем про них все равно ни куда не уйдешь.

и я привел контрпример.

[Padawan]

krum в сообщении #1575145 писал(а):

Функция $f(t,x)$ при почти всех $t\in [a,b]$ непрерывна по $x\in\mathbb{R}$ и при всех $x$ и почти всех $t$ верно неравенство

$$|f(t,x)|\le u(t)\in L^1[a,b].$$

Утв. Если $x(t)\in C[a,b]$ то $f(t,x(t))\in L^1[a,b]$

Это же неверно. Контрпример $f(t, x)=\varphi(t)$ -- ограниченная неизмеримая функция. Либо какое-то условие измеримости надо добавить.

[krum]

Ну, конечно, я забыл написать, что $f$ измерима по $t$ при каждом фиксированном $x$

[Padawan]

krum в сообщении #1575187 писал(а):

$f$ измерима по $t$ при каждом фиксированном $x$

Да, тогда получается доказать, что $f(t,x(t))$ измерима. Более того, $x(t)$ может быть любой измеримой функцией на $[a,b]$, не обязательно непрерывной (возьмём последовательность ступенчатых функций $x_n(t)$, сходящуюся к $x(t)$ почти всюду на $[a,b]$. Тогда $f(t,x_n(t))$ измеримы и сходится к $f(t,x(t))$ почти всюду, значит, $f(t,x(t))$ также измерима).

[krum]

Да, обобщать можно и дальше. Мне важно было привести пример, когда с конструкцией Рихтмайера начинаются проблемы. Кстати, это условия Каратеодори, они используются в одноименной локальной теореме существования ОДУ с измеримой по $t$ правой частью т.е. это имеет прикладное значение.