Внешнее произведение диф.форм ранга 2 в пр-ве Минковского

[Kuga]

В книге Дубровина, Новикова, Фоменко (или в более новой книге Новикова и Тайманова, в которой скопированы целые куски из первой книги) приводится формула

$$ \star (F\wedge F)=\frac{1}{2}\varepsilon^{jklm}F_{jk}F_{lm} $$

в 4хмерном пространстве Минковского. Тут предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

У меня никак не получается понять, почему коэффициент именно 1/2.

По определению внешнего произведения двух диф. форм рангов $k$ и $l$

$$ f\wedge g = \frac{1}{k! l!} A (f\otimes g) = \frac{1}{k! l!} \sum_{\sigma\in S_{k+l}} (\operatorname{sgn} \sigma) (f\otimes g)^\sigma. $$

В рассматриваемом случае $k=l=2$. Далее заменяем суммирование по всем перестановкам $\sigma$ 4-х индексов эквивалентным суммированием по 4-м индексам с заменой $ (\operatorname{sgn} \sigma) $ на полностью антисимметричный тензор 4-го ранга $\varepsilon^{jklm}$. Это дает

$$ F\wedge F=\frac{1}{4}\varepsilon^{jklm}F_{jk}F_{lm}~dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3 $$

Дальше используем $\star(dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3)=1$. В итоге получается формула с коэффициентом 1/4 вместо 1/2. (возможно тут где-то ошибки в знаках, но для меня главное разобраться со степенью двойки). Что не так этих вычислениях?
-------------------------------------------------------------------------------------------------
К тому же выводу можно прийти другим путем. Из формулы

$$ F=E_\alpha dx^0\wedge dx^\alpha-H^1dx^2\wedge dx^3-H^2dx^3\wedge dx^1-H^3dx^1\wedge dx^2 $$

(греческие индексы означают пространственные индексы 1,2,3, причем по повторяющимся индексам подразумевается суммирование), откуда легко получить

$$ F\wedge F=-2(E_\alpha H^\alpha)dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3. $$

Также легко вычислить

$$ \varepsilon^{jklm}F_{jk}F_{lm}=-8(E_\alpha H^\alpha). $$

Снова получаем

$$ \star (F\wedge F)=\frac{1}{4}\varepsilon^{jklm}F_{jk}F_{lm} $$

с коэффициентом 1/4.

[Утундрий]

Приведите заодно определение звёздочки Ходжа.

[svv]

У меня так же.

$${}^*(F\wedge F)=\frac 1{4!}\frac{\varepsilon^{pqrs}}{\sqrt{|g|}}\;(F\wedge F)_{pqrs}=\frac 1 {4!}\frac{\varepsilon^{pqrs}}{\sqrt{|g|}}\;\frac 1{2!2!}\delta_{pqrs}^{jklm}F_{jk}F_{lm}=\frac{4!}{4!2!2!}\frac{\varepsilon^{jklm}}{\sqrt{|g|}}F_{jk}F_{lm}$$