Задача про собственные значения оператора над матрицами 2×2

[Maxim19]

Здравствуйте, попалась такая задача: Пусть $A$ и $B$ — квадратичные матрицы размера $2×2$. Рассмотрим линейный оператор $F$ на пространстве матриц $2×2$, действующий по правилу $F(M)=AMB$. Матрица $A$ имеет 2 различных собственных значения $a_1 a_2$, а $B$ — 2 различных собственных значения $b_1 b_2$ Найдите собственные значения оператора $F$, если(а) матрицы $A$ и $B$ — диагональные; (б) матрицы $A$ и $B$ — произвольные. Букву а я решил, она тривиальна, но букву б решить не получается. Я пробовал матрицу $M$ представить в виде суммы угловых единиц при этом базис подобран так, что матрица $B$ диагональна, но при приведении после перемножения матриц $M B$ к базису, в котором уже матрица $A$ будет диагональна, мой изначальный выбор векторов не является собственным вектором. Что делать? Я так понимаю, подбор собственного вектора не лучшее решение тут?

[svv]

Пусть
$x_1,x_2$ — собственные векторы матрицы $A$, соответствующие $a_1,a_2$;
$y_1,y_2$ — собственные векторы матрицы $B^T$, соответствующие $b_1,b_2$.
(собственные значения $B$ и $B^T$ совпадают, а собственные векторы — не обязательно)
Найдите $F(M_{ik})$, где $M_{ik}=x_iy_k^T$.

[мат-ламер]

Не хочу влезать в обсуждение. Просто хочу сам поучаствовать в решении. Для начала открыл "Теория матриц" Гантмахера (начало главы 8). Там показано, как от исходного уравнения перейти к уравнению с матрицами в ЖНФ. Возможно это позволит случай б) свести к случаю а). Попробую копнуть в этом направлении.

[krum]

одно (или 2 комплексных) из собственных чисел оператора $F$ это в случае общего положения, надо ожидать, это $\sqrt{|AB|}$

[svv]

svv в сообщении #1574670 писал(а):

Найдите $F(M_{ik})$, где $M_{ik}=x_iy_k^T$.

Что-то народ не оценил.
$F(M_{ik})=F(x_iy_k^T)=Ax_iy_k^TB=Ax_i(B^Ty_k)^T=a_ib_k\;x_iy_k^T=a_ib_kM_{ik}$
Более того, набор "собственных векторов" $(M_{ik})$ линейно независим (даже при том, что некоторые произведения $a_ib_k$ могут совпадать), поэтому других собственных значений у $F$ нет.

[krum]

А, да, оценил. Симпатично.

[Maxim19]

Из матриц $M_{ik}$ точно можно составить базис матрицы $M$? Что если там линейно зависимые?

-- 22.12.2022, 16:54 --

Всё, понял, спасибо.

-- 22.12.2022, 16:56 --

Хотя всё равно не до конца. Почему если совпадают собственные значения оператора $F$ там будут линейно независимые собственные векторы?

-- 22.12.2022, 17:29 --

Вот теперь точно понял

-- 22.12.2022, 17:29 --

Вот теперь точно понял

-- 22.12.2022, 17:30 --

Я поражаюсь вашему умению подбирать какие то удобные и вроде не очевидные штуки. Что вы такого читали, чтобы так "плавать" в математике? Посоветуете какие нибудь учебники, но не по теории а скорее по тому, как решать задачи?

[svv]

Maxim19 в сообщении #1574727 писал(а):

Я поражаюсь вашему умению подбирать какие то удобные и вроде не очевидные штуки. Что вы такого читали, чтобы так "плавать" в математике?

Этот форум.

Laguna в сообщении #1566989 писал(а):

Далее заметим, что матрица $xx^\tau$ - собственный вектор с собственным значением $\lambda_i$$\lambda_i$.

[Maxim19]

Вы не знаете книжек, которые учат решать задачи? Мне бы линейную алгебру и мат анализ

[svv]

Простите, вряд ли что-то посоветую, разве что заглянуть сюда.
См. там пункт 5.1. «Линейная алгебра»