Задача про многочлены и квадратичную форму.

[Maxim19]

Здравствуйте, попалась вот такая задача: В пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени не выше $n$ задана квадратичная форма $Q(f)=f(1)f(2)$ Найдите ее сигнатуру (число единиц и минус единиц в нормальном виде).
Я решал так: матрица этой квадратичной формы есть $n$ столбиков с элементами $2^j$ на $j$ столбце. Ранг этой матрицы равен единице, а значит всего одно ненулевое значение в нормальной форме. И нашёл один многочлен, где эта билинейная функция даёт положительный результат, следовательно сигнатура равна (1,0).
Я ничего не упустил в решении этой задачи?

[svv]

Del

[svv]

Maxim19, извините, я сначала чепуху написал.

Нет, сигнатура найдена неправильно. Её надо определять по симметричной матрице. Я проиллюстрирую на простом примере. Пусть в пространстве многочленов степени $\leqslant 2$ задана квадратичная форма $Q(f)=f(0)f(1)$ (кстати, это Ваша форма, только в другом базисе). Её значение на многочлене $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$ равно $a_0(a_0+a_1+a_2)$. Ранг матрицы $A=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ равен $1$, но ранг матрицы $\frac 1 2(A+A^T)$ равен $2$. И действительно,
$a_0(a_0+a_1+a_2)=\left(a_0+\frac 1 2 a_1+\frac 1 2 a_2\right)^2-\left(\frac 1 2 a_1+\frac 1 2 a_2\right)^2$
Обратите внимание на сигнатуру.

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1574243 писал(а):

матрица этой квадратичной формы есть $n$ столбиков с элементами $2^j$ на $j$ столбце. Ранг этой матрицы равен единице,

Откуда здесь вывод на счёт единичного ранга? Эту матрицу в принципе можно представить как произведение вектор-столбца на вектор вектор-строку. Отсюда следует оценка сверху для ранга. Оценку снизу можно получить, предъявив конкретно векторы, на которых форма положительна.

[мат-ламер]

Del

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1574251 писал(а):

Эту матрицу в принципе можно представить как произведение вектор-столбца на вектор вектор-строку. Отсюда следует оценка сверху для ранга. Оценку снизу можно получить, предъявив конкретно векторы, на которых форма положительна.

Извините, ерунду написал.

-- Вс дек 18, 2022 12:28:36 --

Maxim19 в сообщении #1574243 писал(а):

В пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени не выше $n$ задана квадратичная форма $Q(f)=f(1)f(2)$

Для того, чтобы вычислить ранг квадратичной формы, можно заметить, что она зануляется сугубо для многочленов, для которых выполняется $f(1)=0$ , либо для многочленов, для которых выполняется $f(2)=0$ .

[мат-ламер]

Можно просто перейти к новым координатам по формулам: $u=a_0+a_1+...+a_n$ , $v=a_0+2a_1+....+2^na^n$ . Здесь коэффициенты $a_i$ имеют тот же смысл, что и в посту svv . В новых координатах наша форма запишется в виде $Q(u,v)=uv$ . Ещё раз перейдём к новым координатам: $Q(p,q)=p^2-q^2$. Остаётся заметить, что ответ в задаче от выбора системы координат не зависит.

[Maxim19]

Непонятно, при новых координатах размерность же не должна меняться. Что вы имеете под этим ввиду?

[svv]

Maxim19 в сообщении #1574364 писал(а):

Непонятно, при новых координатах размерность же не должна меняться.

Если я правильно понял, что непонятно: новых координат тоже $n+1$, но форма зависит только от двух: $Q(p,q)=p^2-q^2$.
В моём примере
$a_0(a_0+a_1+a_2)=\Bigl(\underbrace{a_0+\frac 1 2 a_1+\frac 1 2 a_2}_{=p}\Bigr)^2-\Bigl(\underbrace{\frac 1 2 a_1+\frac 1 2 a_2}_{=q}\Bigr)^2$

[Maxim19]

Спасибо, всё понял.

-- 19.12.2022, 04:07 --

Вы случайно не знаете сборники нестандартных, но и не олимпиадно-сложных задачек с подробными решениями?