Фон Нейман. Проблема собственных значений

[Middle]

Пусть имеется система уравнений:
$\sum\limits_{\nu}h_{\mu\nu} S_{\nu\rho}=\omega_{\rho}\cdot S_{\mu\rho}$

Тогда отдельные столбцы $s_{1\rho}, s_{2\rho},...$ матрицы $S(\rho=1,2,...)$ и соответствующие диагональные элементы $\omega_{\rho}$ матрицы H являются решениями проблемы собственных значений, которая записывается следующим образом:

$\sum\limits_{\nu}h_{\mu\nu} x_{\nu}=\lambda\cdot x_{\mu}, (\mu=1,2,...)$

То есть $x_{\nu}=s_{\nu\rho}, \lambda=\omega_{\rho}$ есть решение
Далее я приведу скриншот из учебника:


Понятно, что вектор x будет представлять из себя линейную комбинацию таких столбцов матрицы $S$ для которых $w_{\rho}=\lambda$ , а также то, что $\rho$ может принимать любые значения. Но простите, если компонента $x_{\nu}$ будет представлять из себя сумму из компонент $s_{\nu\rho}$, то есть скаляр, то почему в конце автор пишет, что $x_\nu=s_{\nu\rho}$, которое очевидно являются компонентом вектора $x=(x_{1},x_{_2},...,x_{\nu},...)$
То есть скаляр неожиданно перешел в вектор, а вектор в матрицу?

[Утундрий]

Middle в сообщении #1573349 писал(а):

то, что $\rho$ может принимать любые значения. Но простите, если компонента $x_{\nu}$ будет представлять из себя сумму из компонент $s_{\nu\rho}$, то есть скаляр

Выделил ошибку в рассуждении.

[Middle]

Утундрий в сообщении #1573350 писал(а):

Middle в сообщении #1573349 писал(а):

то, что $\rho$ может принимать любые значения. Но простите, если компонента $x_{\nu}$ будет представлять из себя сумму из компонент $s_{\nu\rho}$, то есть скаляр

Выделил ошибку в рассуждении.

Пусть только для $\rho=1,2 , w_{\rho}=\lambda$. Тогда для $\nu=4$: $x_{4}=s_{41}+s_{42}$. Разве это не скаляр, ведь именно это я имел ввиду

[Утундрий]

Middle в сообщении #1573352 писал(а):

Разве это не скаляр

Больше напоминает четвёртую компоненту вектора.

Middle в сообщении #1573352 писал(а):

ведь именно это я имел ввиду

А вот автор явно имел в виду другое.

[Middle]

Утундрий в сообщении #1573356 писал(а):

Middle в сообщении #1573352 писал(а):

ведь именно это я имел ввиду

А вот автор явно имел в виду другое.

На самом деле автор уже написал почему это так, сославшись на то, что $S$ обладает обратной матрицей