Бывает ли такой ортонормированный базис?

[AD]

Существует ли ортонормированный базис $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ в $L_2[0,1]$, в котором

$$\sup_{n\in\mathbb{N}}\mathop{\mathrm{Var\,}}\limits_{[0,1]}f_n<\infty$$

(то есть вариации равномерно ограничены)?

Ну например у системы Фурье вариации растут как $O(n)$.
Ну если нельзя равномерно ограничить, то хотя бы какая асимптотика роста достижима?

[Gafield]

Для гладких нет. Если бы последовательность базисных функций $\{\bar e_i\}$ была ограничена в $C^{1} ([0,1])$, то какая-то ее подпоследовательность сходилась бы к некоторой ненулевой функции из пространства Гельдера $C^{\alpha}([0,1])\subset L_2([0,1])$, $0<\alpha<1$. Что невозможно, поскольку $\{\bar e_i\}$ должна слабо сходиться к нулю в $ L_2([0,1])$. Аналогично, в общем случае достаточно показать, что пространство функций ограниченной вариации компактно в $ L_2([0,1])$.

[AD]

Ээээ.... помедленнее, я записываю.

Ну вот мне понятно, что наша система будет ограничена в совокупности, хотя априори это не предполагалось. Следовательно, мне понятно, почему она будет слабо сходиться к нулю. А откуда класс Гёльдера выполз? Это кто за теорема такая? А сходимость в ней какая? ...

[zoo]

Gafield писал(а):

Аналогично, в общем случае достаточно показать, что пространство функций ограниченной вариации компактно в $ L_2([0,1])$

Вы хотели сказать "компактно вложено" и вот это по-моему самое интересное. Во-первых о каком конкретно пространстве функций ограниченной вариации идет речь?

[Gafield]

В моем первом посте насчет общего случая было лишь условное утверждение. Более того, я над этим не размышлял Однако, думаю (опять же, не проверял) , что для компактности фактор по константам в обоих пространствах подойдет. Возвращение к исходной задаче может потребовать еще нескольких фраз

[AD]

После недолгих размышлений понял, что понимаю всё, кроме того, что никто не понимает. То есть буду доказывать компактность.

[zoo]

Gafield писал(а):

В моем первом посте насчет общего случая было лишь условное утверждение. Более того, я над этим не размышлял Однако, думаю (опять же, не проверял) , что для компактности фактор по константам в обоих пространствах подойдет. Возвращение к исходной задаче может потребовать еще нескольких фраз

Давайте поразмышляем. За отправную точку предлогаю взять http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation
Определим норму в пространстве функций огранич. вариации формулой
$\|u\|=\|u\|_{L^2[0,1]}+V(u,[0,1])$
интересно было бы понять: будет ли компактным вложение этого пространства в $L^2[0,1]$?

[ewert]

Gafield писал(а):

Для гладких нет. Если бы последовательность базисных функций $\{\bar e_i\}$ была ограничена в $C^{1} ([0,1])$, то какая-то ее подпоследовательность сходилась бы к некоторой ненулевой функции из пространства Гельдера $C^{\alpha}([0,1])\subset L_2([0,1])$, $0<\alpha<1$. Что невозможно, поскольку $\{\bar e_i\}$ должна слабо сходиться к нулю в $ L_2([0,1])$.

Чего-то шибко уж сложно. Функции, ограниченные в $C^{1} ([0,1])$, по теореме Арцела предкомпактны в $C^{0} ([0,1])$ и уж тем более предкомпактны в $L_2([0,1])$. В то время как ортонормированная последовательность заведомо не предкомпактна.

[AD]

В общем, построил $\varepsilon$-сеть. Ну, как всегда, решёточка $N\times N$ вроде подходит. То есть, похоже, в классическом случае всё получается. А уж в неклассическом случае - пока не берусь.