Коединица функтора вложения

[EminentVictorians]

Возникла пара непоняток с параграфом 4.3. Рефлективные подкатегории у Маклейна.

Рассмотрим категорию $B$, ее подкатегорию $A$ и функтор вложения $K: A \to B$. Если $K$ имеет левый сопряженный (назовем его $F$), то подкатегория $A$ называется рефлективной.

Понятно, что функтор вложения $K$ всегда унивалентен. Ранее была доказана теорема, согласно которой можно утверждать, что из данного условия будет вытекать, что каждая компонента коединицы сопряжения (т.е. каждая стрелка $\varepsilon_a:FKa \to a$ из категории $A$) является эпиморфизмом в категории $A$.

Но у Маклейна написано следующее:

Маклейн, стр.108 писал(а):

Поскольку функтор вложения $K$ всегда унивалентен, то коединица отражения $\varepsilon$ всегда является эпиморфизмом.

Во-первых, почему "коединица отражения"? Может быть "коединица сопряжения"? Но это бы ладно, может быть просто артефакт перевода.

Меня больше смущает само утверждение. Вот эта "коединица сопряжения $\varepsilon$" - это не то же самое, что и "каждая компонента $\varepsilon_a$ коединицы сопряжения $\varepsilon$". Сама коединица сопряжения - это целое естественное преобразование между функторами $FG$ и $Id_A$ (где $FG() = F(G())$):

$$\varepsilon: FG \dot{\to} Id_A$$

Иными словами, $\varepsilon$ - это стрелка в категории $A^A$ (категории функторов из $A$ в $A$).

Конечно, хотелось бы, чтобы была теорема, о том, что (произвольное) естественное преобразование $\tau: S \to T$ между двумя функторами $S, T:A \to B$ (где $A$ и $B$ - произвольные категории) является мономорфизмом/эпиморфизмом (как стрелка в $B^A$) тогда и только тогда, когда $(\forall a \in A)$ компонента $\tau_a:S(a) \to T(a)$ является мономорфизмом/эпиморфизмом (как стрелка в $B$).

Но, насколько я понимаю, это утверждение в общем случае неверно. Хотя, если взять $B = Set$, то утверждение верно.

Так вот. У Маклейна написано "коединица сопряжения". Если бы было написано "каждая компонента коединицы сопряжения" - ноль вопросов. Но тот факт, что словосочетание "каждая компонента коединицы сопряжения" можно заменить на "коединица сопряжения" как минимум нуждается в доказательстве. (Если так вообще можно делать - что абсолютно не очевидно; я бы поставил скорее на то, что так делать нельзя)
Особенно в свете того, что категории $A$ и $B$ там произвольные (по модулю условия, что $A$ является подкатегорией $B$).

Собственно, в этом и вопрос. Нету ли ошибки в данной цитате из Маклейна?