Глубина проникновения переменного э-м поля в металл

[metelev]

Здравствуйте!

Есть такая область человеческой деятельности, неразрушающий контроль, один из его разделов --- вихретоковый контроль. В простейшем случае это катушка с переменным током, её приставляют к металлическому объекту контроля, лучше если немагнитному, переменное магнитное поле от катушки наводит в нём вихревые токи, которые генерируют вторичное магнитное поле, которое и регистрируется, иногда той же самой катушкой.

Подход инженерный, поэтому как правило в дефектоскопических учебниках просто пишут формулы, не вдаваясь, откуда они взялись. Вот в частности пишут такую формулу:

$\delta=\frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}$

$\delta$ --- так называемая "глубина проникновения", $f$ частота, $\mu$ магнитная проницаемость, $\sigma$ проводимость.

(update: типичные значения, пример из заграничного пособия для подготовки дефектоскопистов 80-х годов. Для некоторой нержавеющей (немагнитной) стали, на частоте 100 кГц ($f=10^5$), магнитная проницаемость совпадает с таковой в вакууме $\mu=4 \pi \times 10^{-7}\,\text{Гн/м}$, проводимость $\sigma=0.14\times 10^7\,\,1/(\Omega\text{м})$ (примерно в 7 раз меньше, чем у чистого железа), глубина проникновения получается примерно 1.35 мм)

Пишут, что на глубине $\delta$ вихревые токи ослабевают в $e$ раз и ещё пишут, что сдвиг фазы тока на этой глубине 1 радиан. Откуда я делаю вывод, что длина волны $\lambda=2\pi \delta=\frac{2\pi}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}$

На этом "дефектоскопическая" часть заканчивается.

Далее, известно что $v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$. Отсюда можно заключить, что $\lambda=\frac{c}{f\sqrt{\varepsilon\mu}}$

Вопрос: есть ли простой (или хоть какой-нибудь) способ перейти от последней формулы для длины волны к "дефектоскопической"? Может книжка есть, где про это хорошо написано?

[EUgeneUS]

metelev в сообщении #1572109 писал(а):

$\delta$ --- так называемая "глубина проникновения",

это "так называемая" толщина скин-слоя.

metelev в сообщении #1572109 писал(а):

Откуда я делаю вывод, что длина волны

Формально так можно сделать. Хотя называть "волной" нечто, затухающее как экспонента, довольно странно.

metelev в сообщении #1572109 писал(а):

Далее, известно что $v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$.

Это для среды без диссипации. Тут не учитывается ненулевая проводимость среды. А в выражении для толщины скин-слоя не учитывается относительная диэлектрическая проницаемость среды (считается равной единице).

Если повторить выводы для комплексной диэлектрической проницаемости, то должно сойтись.

[Alex-Yu]

metelev в сообщении #1572109 писал(а):

Откуда я делаю вывод, что длина волны $\lambda=2\pi \delta=\frac{2\pi}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}$

"Вывод" довольно бессмысленный. Что еще за "длина волны" в проводнике? Нет, ну можно, конечно, что-то (например то, что написано) так обозвать. Но зачем????

-- Чт дек 01, 2022 16:28:52 --

metelev в сообщении #1572109 писал(а):

способ перейти от последней формулы для длины волны к "дефектоскопической"?

Много чего можно. Но делать формальные манипуляции, не понимая их смысла, занятие довольно бессмысленное. И предосудительное. По существу это гадание на кофейной гуще. А выводится формула для скин-слоя запросто: берем уравнения Максвелла, пишем, что ${\bf j}=\sigma {\bf E}$, замечаем, что этот член намного больше, чем член с временной производной (ток смещения), значит током смещения можно пренебречь. Остается перейти к комплексным амплитудам вида $\sim e^{i(kz - \omega t)}$ (уж метод комплексных амплитуд инженер, имеющий хоть малейшее отношении к электротехнике, должен знать отлично), и тогда сразу, школьной выкладкой, находится, чему равняется $k$. Мнимая часть этой $k$ определяет глубину проникновения. Готово.

-- Чт дек 01, 2022 16:30:59 --

EUgeneUS в сообщении #1572117 писал(а):

А в выражении для толщины скин-слоя не учитывается относительная диэлектрическая проницаемость среды (считается равной единице).

Не-а. Нулю. Впрочем, это практически ни на что не влияет. Единица будет, ноль, или, к примеру, 5 -- все едино. Ток смещения много меньше тока проводимости. Поэтому он ни на что не влияет.

[DimaM]

metelev в сообщении #1572109 писал(а):

Далее, известно что $v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$. Отсюда можно заключить, что $\lambda=\frac{c}{f\sqrt{\varepsilon\mu}}$
Вопрос: есть ли простой (или хоть какой-нибудь) способ перейти от последней формулы для длины волны к "дефектоскопической"?

Нет, по-моему.
Проникновение магнитного поля в проводник - процесс не волновой, а диффузионный, поэтому искомая глубина - отнюдь не длина волны, а характерная длина затухания.
Можно довольно просто, рассмотрев внезапное создание магнитного поля вдоль поверхности проводника, рассмотреть поведение электрического и магнитного поля внутри проводника. Получаются примерно такие дифуры:

$$H_x=-\sigma E, \quad E_x=-\mu_0\mu H_t$$

(координата $x$ направлена поперек поверхности вглубь проводника). Исключив $E$, можно получить уравнение диффузии для $H$, которое можно решить. Для грубой оценки зависимости глубины проникновения $\delta$ от времени $t$ можно написать $\partial/\partial t \to 1/t, \;\partial/\partial x \to 1/\delta$. Выражение для переменного по синусу поля получится при замене $t\to 1/\omega$.

[Alex-Yu]

DimaM в сообщении #1572126 писал(а):

Для грубой оценки зависимости глубины проникновения $\delta$ от времени $t$ можно написать $\partial/\partial t \to 1/t, \;\partial/\partial x \to 1/\delta$.

Ой, какой кошмар....

[DimaM]

Alex-Yu в сообщении #1572127 писал(а):

Ой, какой кошмар...

Очень содержательное и ценное замечание

[Alex-Yu]

DimaM в сообщении #1572126 писал(а):

Получаются примерно такие дифуры:

$$H_x=-\sigma E, \quad E_x=-\mu_0\mu H_t$$

Хорошо бы при этом сказать, что индексы означают производные (по координате и времени соответственно). А далее не надо решать уравнение диффузии (которое и правда получается, если исключить Н или Е). Надо просто воспользоваться методом комплексных амплитуд (который для инженера, имеющего хоть малейшее отношение к электротехнике, должен быть совершенно "родным"). И диффуры превратятся в простые алгебраические уравнения.

-- Чт дек 01, 2022 16:46:18 --

DimaM в сообщении #1572129 писал(а):

Очень содержательное и ценное замечание

Вы среагировали раньше, чем я дописал содержательную часть. Но кошмар от этого кошмаром быть не перестает :)

[DimaM]

Alex-Yu в сообщении #1572130 писал(а):

А далее не надо решать уравнение диффузии (которое и правда получается, если исключить Н или Е). Надо просто воспользоваться методом комплексных амплитуд (который для инженера, имеющего хоть малейшее отношение к электротехнике, должен быть совершенно "родным").

Сдается мне, что в рассмотренном мной случае решить уравнение диффузии таки проще.

Alex-Yu в сообщении #1572130 писал(а):

Но кошмар от этого кошмаром быть не перестает :)

Ценность и содержательность этого замечания по-прежнему на высоте

[Alex-Yu]

DimaM в сообщении #1572131 писал(а):

Сдается мне, что в рассмотренном мной случае решить уравнение диффузии таки проще.

Ух! Чем дальше, тем кошмарнее Решить ДУЧП "проще" чем простое алгебраическое уравнение... Даже просто квадратное уравнение, какие в средней школе решают (во всяком случае в мое время решали)

[metelev]

DimaM, Alex-Yu, EUgeneUS

Спасибо большое за ответы!

То, что имеется сдвиг фазы для дефектоскопии является крайне важным, это позволяет определить глубину залегания дефекта.

Ну и с другой стороны, то что он имеется, автоматически означает циклический (волновой) характер происходящих процессов.

Для меня это важно, потому что мне хочется привязать это к геометрии объекта. Там одно измерение меньше, чем так посчитанная длина волны получается. Торцевая сварка и с торца эту катушку к ней прикладывают. Не я это придумал, вот сейчас думаю как грамотно написать, что это не слишком удачная идея.

Что касается моего вопроса, особенно ценным было упоминание, что это фактически формула скин-эффекта. Я почему-то про него не подумал. Дальше уже можно в книжках искать, когда знаешь что именно искать.

[Alex-Yu]

metelev в сообщении #1572134 писал(а):

Дальше уже можно в книжках искать, когда знаешь что именно искать.

Лучше все же просто изучить основы электродинамики. Для инженера я бы посоветовал Никольского "Электродинамика и распространение радиоволн".

-- Чт дек 01, 2022 17:23:07 --

metelev в сообщении #1572134 писал(а):

циклический (волновой)

Циклический и волновой -- не одно и то же! Например в обычном колебательном контуре вполне циклический процесс. Но ничего волнового там нет.

[metelev]

Я вот подумал-подумал и понял, что если длина затухания и длина волны это совсем разные вещи, для которых разные формулы, тогда дефектоскопическое утверждение что на длине затухания происходит набег фазы на 1 радиан просто неверное. Вот и верь после этого книжкам по неразрушающему контролю. Книжка была такая:

"LEVEL III STUDY GUIDE
EDDY CURRENT METHOD
ASNT
Continuing Education In Nondestructive Testing
The American Society for Nondestructive Testing"

Третий уровень в неразрушающем контроле это примерно как восьмидесятый в троллинге.

[Alex-Yu]

Alex-Yu в сообщении #1572135 писал(а):

тогда дефектоскопическое утверждение что на длине затухания происходит набег фазы на 1 радиан просто неверное.

metelev в сообщении #1572166 писал(а):

утверждение что на длине затухания происходит набег фазы на 1 радиан просто неверное.

Ну почему же неверное.... Вот у вас зависимость комплексной амплитуды от глубины: $\exp(ikx)$. Если вы проделаете выкладки, что выше описаны, то убедитесь, что мнимая часть $k$ равна действительной части (потому, что извлекается корень из $i$). Т.е. на глубине $1/ (Re \,\, k)$ амплитуда упадет в $e$ раз, а фаза повернется как раз на 1 радиан. Просто затухание столь большое здесь, что говорить о длине волны как-то не вполне вразумительно. А вот посчитайте, сколько там останется на такой "длине волны". Да ничего практически не останется.

А вообще совет: поменьше гадать на кофейной гуще и побольше решать фундаментальные уравнения. Уравнений Максвелла в данном случае. Разные вещи длина затухания и длина волны или не разные -- это все болтовня пустопорожняя. Берете комплексную амплитуду (которая легко находится) и смотрите, что там с фазой в зависимости от глубины. Без пустопорожней болтовни.

[metelev]

Alex-Yu в сообщении #1572184 писал(а):

Если вы проделаете выкладки, что выше описаны, то убедитесь, что мнимая часть $k$ равна действительной части (потому, что извлекается корень из $i$)

Спасибо

DimaM в сообщении #1572126 писал(а):

Получаются примерно такие дифуры:

$$H_x=-\sigma E, \quad E_x=-\mu_0\mu H_t$$

За это тоже спасибо. Помогло. Точнее я ещё об этом подумаю. Но в общем кажется понятно.