Здравствуйте!
Известно, что базис Гамеля банаховых пространств несчётен. Это следует из теоремы Бэра о категории.
Также известно, что сами сепарабельные банаховы пространства имеют мощность континуум - а значит, и базисы Гамеля в них имеют мощность не больше континуальной.
В предположении, что верна гипотеза континуума, отсюда следует континуальность базисов Гамеля в любом сепарабельном банаховом пространстве.
Известно ли что-либо о мощности базисов Гамеля в сепарабельных банаховых пространствах, если не предполагать справедливость гипотезы континуума?
А может быть, не во всех пространствах, а конкретно в
![$C[a,b]$ $C[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/e/fbeb56df8cf1724a777f83396b15495982.png)
,
![$C^{(k)}[a,b]$ $C^{(k)}[a,b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/7/9a7cdc102b1f5f48625ed38961318fb082.png)
,

,

?