А про то, что резольвентное множество открыто в случае любого оперватора он не пишет.
Как вы определяете резольвентное множество незамкнутого или тем более незамыкаемого оператора
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
на банаховом пространстве
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
? По Иосиде это множество таких
![$\lambda\in\mathbb C$ $\lambda\in\mathbb C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/1/481ee9ae0d4a8f91399ff01375ee6e9582.png)
, что
![$A-\lambda$ $A-\lambda$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/a/bda06f5050cb4fa677b52fb611e8704f82.png)
инъективен, имеет плотный образ
![$R(A-\lambda)\subset X$ $R(A-\lambda)\subset X$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/7/aa76f412f6f3ad5d70c2834785212fea82.png)
и коограничение на этот образ имеет непрерывный обратный
![$(A-\lambda)^{-1}$ $(A-\lambda)^{-1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/f/92f6ca0e240393e51d816301560d816682.png)
. Предположим, что в резольвентном множестве есть элемент
![$\lambda$ $\lambda$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/8/fd8be73b54f5436a5cd2e73ba9b6bfa982.png)
. Рассмотрим
![$(A-\lambda)^{-1}$ $(A-\lambda)^{-1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/f/92f6ca0e240393e51d816301560d816682.png)
как плотно определённый оператор на
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
, раз он непрерывный, то замыкаемый, значит,
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
тоже замыкаемый: график
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- это прообраз графика
![$(A-\lambda)^{-1}$ $(A-\lambda)^{-1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/f/92f6ca0e240393e51d816301560d816682.png)
относительно гомеоморфизма
![$X\times X\to X\times X$ $X\times X\to X\times X$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/6/976ba84a0772cb6409ec59b8c88bf64082.png)
,
![$(x,y)\mapsto(y-\lambda x, x)$ $(x,y)\mapsto(y-\lambda x, x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/3/ef32f897fc163a62b8446138059c3a8582.png)
. То есть если резольвентное множество непусто, то оператор замыкаем, а у замыкаемого резольвентое множество такое же, как и у замыкания.