найти m

[daogiauvang]

найти все значение m чтобы ревенство имеет 2 разных корня
\sqrt[4]{2x}+2 \sqrt[4]{6-x}+\sqrt{2x}+2\sqrt{6-x}=m

[Руст]

Пусть $f(x)=\sqrt x +\sqrt[4] x$, тогда уравнение записывается в виде; $g(x)=f(2x)+2f(6-x)=m$.
Функция $g(x)$ определена в $[0,6]$ и дифференцируема внутри интервала. Поэтому $g'(x)=2f'(2x)-2f'(6-x)=0\to 2x=6-x$ (так как $f'(x)$ монотоно убывающая). Находим $g(0)=2(\sqrt 6 +\sqrt[4] 6) < \ g(2)=3(2+\sqrt 2 )> \ g(6)=\sqrt{12}+\sqrt[4]{12}<g(0).$
Поэтому два решения, если $m\in [g(0),g(2))$.

[daogiauvang]

Руст писал(а):

Пусть $f(x)=\sqrt x +\sqrt[4] x$, тогда уравнение записывается в виде; $g(x)=f(2x)+2f(6-x)=m$.
Функция $g(x)$ определена в $[0,6]$ и дифференцируема внутри интервала. Поэтому $g'(x)=2f'(2x)-2f'(6-x)=0\to 2x=6-x$ (так как $f'(x)$ монотоно убывающая). Находим $g(0)=2(\sqrt 6 +\sqrt[4] 6) < \ g(2)=3(2+\sqrt 2 )> \ g(6)=\sqrt{12}+\sqrt[4]{12}<g(0).$
Поэтому два решения, если $m\in [g(0),g(2))$.

Очень точно и коротко. Но $g'(x)=2f'(2x)-2f'(6-x)=0\to 2x=6-x$ если и только если f'(x) мнотонная
Спасибо Русту за решение