Дифференцирование интегралов

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите разобраться. Найти:

$\frac{d}{dx} \int\limits_{0}^{x^2}\ln(\frac{2t^2}{1+\arctg^2(t) + \sin^4(t)})dt$

Хотелось бы написать, что это равно: $F'(x^2)(x^2)' - F'(0)= \ln(\frac{2x^4}{1+\arctg^2(x^2) + \sin^4(x^2)})\cdot 2x$ , но подынтегральная функция не определена в нуле. Что с этим делать?

[svv]

Пусть $f(t)$ — подинтегральная функция, $a>0$ — константа, $x>0$. Справедливо
$\int\limits_0^{x^2} f(t)\,dt=\int\limits_0^a f(t)\,dt+\int\limits_a^{x^2} f(t)\,dt$
(все интегралы тут сходятся). При дифференцировании первое слагаемое даст нуль, так как не зависит от $x$, а второе даст тот же результат, что Вы получили.

P.S. Производную в нуле вычитать не надо.

[Stensen]

Спасибо, осознал.

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1570665 писал(а):

Спасибо, осознал.

А я так нет. Что касается значений искомой функций для положительных $x$ , то тут всё ясно. А что касается значения искомой функции для $x=0$ , то тут нужно дополнительное рассмотрение (ИМХО). Это значение на интуитивном уровне можно подсчитать прямо из определения производной, полагая, что подынтегральная функция вблизи нуля приблизительно равна $\ln 2t^2$ . Но этот ход надо ещё строго обосновать. Можно ещё потом убедиться, что искомая функция непрерывна в нуле. Поскольку у нас интеграл несобственный, то это как-то неочевидно. (Но может я чего-то недопонимаю).

[Stensen]

мат-ламер в сообщении #1570761 писал(а):

Stensen в сообщении #1570665 писал(а):

Спасибо, осознал.

А что касается значения искомой функции для $x=0$ , то тут нужно дополнительное рассмотрение (ИМХО). Подынтегральная функция вблизи нуля приблизительно равна $\ln 2t^2$ . Но этот ход надо ещё строго обосновать.Поскольку у нас интеграл несобственный.

Это вроде понятно, как несобственный $\lim\limits_{t \to 0+}\int\limits_{t}^{a} \ln(x)dx=\lim\limits_{t \to 0+}^{}( x \ln(x)-x)$|$_t^a$ (по частям).
$\lim\limits_{t\to 0+} x \cdot \ln(x)=0$. Непрерывность не проверял, надо посмотреть

[ewert]

В нуле всё банально: $\big|\ln\frac{2t^2}{1+\arctg^2(t) + \sin^4(t)}\big|<2|\ln t|$. Соответственно, интеграл оценивается сверху через

$-2\int_0^{x^2}\ln t\,dt=2t(1-\ln t)\big|_0^{x^2}=2x^2-4x^2\ln x$,

и после деления на $x$ в пределе получится ноль.

[Padawan]

Можно воспользоваться теоремой Лагранжа, из которой следует, что если функция $F(x)$ непрерывна на полуинтервале $[x_0,x_0+\delta)$ и существует предел $\lim\limits_{x\to x_0+0} F'(x)$, то существует и равна этому пределу правая производная $F'_{+}(x_0)$

[ewert]

На минуту опередили -- только что хотел это добавить.