fred1996, спасибо за интересную задачу. Расскажу в двух словах, как решал. Сначала не предполагал
![$t,\ell\ll h$ $t,\ell\ll h$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/2/342f7cb140fa8dba95511d3d1757000882.png)
(надеялся решить точно). Обозначим костяшки
![$K_1$ $K_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6968ce16fa7a6d8af6261f0d09b3b982.png)
и
![$K_2$ $K_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aa9170adaf071d0fb7a8bb476a8bbf682.png)
.
1) Рассмотрим этап, когда костяшки уже в контакте. Пусть
![$\varphi_1$ $\varphi_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/617ae4e33b0219913a27b693af246aa782.png)
и
![$\varphi_2$ $\varphi_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/a/f0a553389fe2baa318a35fe894431add82.png)
— углы отклонения
![$K_1$ $K_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6968ce16fa7a6d8af6261f0d09b3b982.png)
и
![$K_2$ $K_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aa9170adaf071d0fb7a8bb476a8bbf682.png)
от вертикали. Тогда геометрическая связь
![$(\ell+t)\cos\varphi_2=h\sin(\varphi_1-\varphi_2)+t$ $(\ell+t)\cos\varphi_2=h\sin(\varphi_1-\varphi_2)+t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/a/fda67c41f01225f5f2a2f9d907bc9d7282.png)
.
Продифференцируем её по времени:
![$-(\ell+t)\sin\varphi_2\;\dot\varphi_2=h\cos(\varphi_1-\varphi_2)\;(\dot\varphi_1-\dot\varphi_2)$ $-(\ell+t)\sin\varphi_2\;\dot\varphi_2=h\cos(\varphi_1-\varphi_2)\;(\dot\varphi_1-\dot\varphi_2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/5/cd52969c50c4b96859286e58163910c382.png)
Сразу после столкновения
![$K_2$ $K_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aa9170adaf071d0fb7a8bb476a8bbf682.png)
вертикальна,
![$\varphi_2=0$ $\varphi_2=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/3/b136567b1c2fe0251730cd3c7feb392682.png)
, откуда
![$\dot\varphi_1=\dot\varphi_2$ $\dot\varphi_1=\dot\varphi_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/4/6e4012e35c425315d5f9ae622ca40e4882.png)
. Значит, сразу после столкновения угловые скорости костяшек равны.
2) При ударе каждая костяшка действует на другую в течение малого времени с большой силой, направленной горизонтально (нет трения).
Плечо силы
![$F_{K1\to K2}$ $F_{K1\to K2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/8/f48a0795479ef6079750cb3eb9bf852182.png)
относительно оси вращения
![$K_2$ $K_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aa9170adaf071d0fb7a8bb476a8bbf682.png)
равно плечу силы
![$F_{K2\to K1}$ $F_{K2\to K1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/d/eed96ee759e74b446e3b0d542dd9829b82.png)
относительно оси вращения
![$K_1$ $K_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6968ce16fa7a6d8af6261f0d09b3b982.png)
.
Поэтому момент импульса, полученный при ударе
![$K_2$ $K_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aa9170adaf071d0fb7a8bb476a8bbf682.png)
, равен минус моменту импульса, полученному
![$K_1$ $K_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6968ce16fa7a6d8af6261f0d09b3b982.png)
(притом, что момент импульса каждой костяшки вычисляется относительно "своей" оси вращения).
Отсюда с учётом 1) следует, что угловая скорость
![$K_1$ $K_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6968ce16fa7a6d8af6261f0d09b3b982.png)
при ударе уменьшилась вдвое. Следовательно, при ударе ровно половина кинетической энергии рассеялась (четверть осталась у
![$K_1$ $K_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6968ce16fa7a6d8af6261f0d09b3b982.png)
и четверть перешла к
![$K_2$ $K_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aa9170adaf071d0fb7a8bb476a8bbf682.png)
).
3) Рассмотрим 3 положения костяшек:
![Изображение](https://i.postimg.cc/C5c1JKdj/g2725.png)
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
:
![$K_1$ $K_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6968ce16fa7a6d8af6261f0d09b3b982.png)
в максимуме потенциальной энергии и только-только начинает падать.
![$K_2$ $K_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aa9170adaf071d0fb7a8bb476a8bbf682.png)
в исходном положении.
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
: костяшки только что соприкоснулись.
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
: костяшки в контакте достигли максимума суммарной потенциальной энергии. Если они через него перевалят, дальше точно будут падать.
Замечание: если
достаточно велико, положения
может не существовать (оно сливается с
).Из 2) получаем, что костяшки преодолеют
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
и упадут вместе, если
![$U_C-U_B\leqslant\frac 1 2(U_A-U_B)$ $U_C-U_B\leqslant\frac 1 2(U_A-U_B)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/076ca6afa680b1e6d8d64870509e542082.png)
. Значению
![$\ell$ $\ell$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/0/d30a65b936d8007addc9c789d5a7ae4982.png)
, когда его "только-только" хватает для падения обеих костяшек, соответствует знак равенства.
Остаётся найти
![$U_A,U_B,U_C$ $U_A,U_B,U_C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/5/365c77acd19ea22ba067ed69118d55e482.png)
.
4) Приближение: предположим, что
![$t,\ell\ll h$ $t,\ell\ll h$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/2/342f7cb140fa8dba95511d3d1757000882.png)
и угловые скорости костяшек остаются равными (но не постоянными) вcюду от
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
до
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
. Тогда будет постоянным угол между вектором из оси вращения
![$K_1$ $K_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d6968ce16fa7a6d8af6261f0d09b3b982.png)
в её центр масс и вектором из оси вращения
![$K_2$ $K_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aa9170adaf071d0fb7a8bb476a8bbf682.png)
в её центр масс. И легко найти максимум
![$U_C$ $U_C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/8/bd876ff51d8b67e455c2839551ae673e82.png)
суммарной потенциальной энергии во время движения костяшек в контакте, даже не находя положения
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
, при котором этот максимум достигается.
Дальше довольно просто.