2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение линейных операторов
Сообщение14.11.2022, 21:15 


28/08/22
49
Наверное глупый вопрос, но я торможу:
Есть два невырожденных линейных оператора $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$. Пусть в некотором базисе их матрицы это $A$ и $B$. Поскольку эти матрицы невырожденные, то $AB\sim BA$. Тогда получается, что эти матрицы соответствуют одному и тому же оператору в разных базисах, а значит $\mathcal{AB=BA}$.
Где я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение линейных операторов
Сообщение14.11.2022, 21:48 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А что означает символ $\sim$ в записи $AB\sim BA$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение линейных операторов
Сообщение14.11.2022, 21:53 


28/08/22
49
svv в сообщении #1570034 писал(а):
А что означает символ $\sim$ в записи $AB\sim BA$?

Подобие матриц. $A \sim A' \Leftrightarrow \exists B: A'=B^{-1}AB$

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение линейных операторов
Сообщение14.11.2022, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
ohart в сообщении #1570031 писал(а):
эти матрицы соответствуют одному и тому же оператору в разных базисах, а значит $\mathcal{AB=BA}$
Вот здесь ошибка. Если у оператора $A$ в базисе $(e_1, e_2)$ такая же матрица, как у оператора $B$ в базисе $(g_1, g_2)$, то это не означает, что $A = B$.
При фиксированном базисе есть биекция между операторами и матрицами, причем сложение и умножение матриц соответствует сложению и композиции операторов. Но в разных базисах у одного и того же оператора разные матрицы (хотя и связанные между собой; но эта связь другая, чем, например, у матриц билинейных форм - оператор это тензор ранга $(1, 1)$, а билинейная форма - ранга $(2, 0)$, этим же объясняется, что операторы перемножать можно, а билинейные формы нельзя).

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение линейных операторов
Сообщение14.11.2022, 22:11 


28/08/22
49
mihaild в сообщении #1570036 писал(а):
ohart в сообщении #1570031 писал(а):
эти матрицы соответствуют одному и тому же оператору в разных базисах, а значит $\mathcal{AB=BA}$
Вот здесь ошибка. Если у оператора $A$ в базисе $(e_1, e_2)$ такая же матрица, как у оператора $B$ в базисе $(g_1, g_2)$, то это не означает, что $A = B$.

Да, конечно, спасибо. Действительно глупый вопрос был.

Цитата:
При фиксированном базисе есть биекция между операторами и матрицами, причем сложение и умножение матриц соответствует сложению и композиции операторов. Но в разных базисах у одного и того же оператора разные матрицы (хотя и связанные между собой; но эта связь другая, чем, например, у матриц билинейных форм - оператор это тензор ранга $(1, 1)$, а билинейная форма - ранга $(2, 0)$, этим же объясняется, что операторы перемножать можно, а билинейные формы нельзя).

Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group