Расширение выражения с N на R+ (truncated normal distr)

[_hum_]

Пусть $\varphi_{m}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2}}$ (которую, в частности, можно рассматривать как плотность нормального распределения с матожиданием $m$ и единичной дисперсией). И пусть последовательность чисел $m_1, m_2,...$ такова, что любую частичную сумму первых $n$ членов можно найти аналитически, а именно, $\sum_{i=1}^n m_i = f(n)$, где $f = f(u)$ - некоторая функция.
Тогда из известного факта о свертках (или, аналогично, из известного факта о плотности суммы независимых случайных величин), вытекает, что

\begin{align*}\frac{1}{\left(2\pi n\right)^\frac{1}{2}}e^{-\frac{\left(x-f(n)\right)^2}{2 n}} &\\&= [\varphi_{m_1}\ast \varphi_{m_2} \ast \dots \ast \varphi_{m_n}](x) \\&= \int\limits_{-\infty}^\infty\dots\int\limits_{-\infty}^\infty e^{- \frac{\left(x_1 - f(1) - 0\right)^2}{2} - \frac{\left((x_2 - f(2)) - (x_1 - f(1))\right)^2}{2} - \dots - \frac{\left((x - f(n)) - (x_{n-1} - f(n-1))\right)^2}{2}}d x_1 \dots d x_{n-1} \\&= \int\limits_{-\infty}^\infty\dots\int\limits_{-\infty}^\infty e^{- \frac{1}{2}(X - F)^\top A (X - F) }d x_1 \dots d x_{n-1}, \end{align*}
где $X, F, A$ - соответствующие вектора и матрица. (Прим. Фактически получается выражение для одномерной маргинальной плотности некоторого $n$-мерного нормального распределения).

Интересует следующий вопрос: самое левое выражение как функция от $n$ естественным образом допускает расширение области определения на все положительные вещественные числа (прямой заменой $n$ на вещественные числа). Отсюда вытекает, что и выражения с интегралами тоже допускают такое расширение (хотя непонятно, как его определить без непосредственного вычисления интегралов). Вопрос: существует ли такое расширение и для случая, когда в соответствующих интегралах пределы интегрирования заменены на $(0, \infty)$ (Прим. В этом случае это получается маргинальная плотность так называемого multivariate truncated normal distribution)?

[_hum_]

На всякий случай, уточню контекст вопроса:
допустим, мы имеем $n$-мерное нормально распределение с параметрами $(F,A)$ из исходного поста. Допустим, далее, мы захотели рассмотреть интегралы вида:
\begin{align*} I(x;n) = \int\limits_{-\infty}^\infty\dots\int\limits_{-\infty}^\infty e^{- \frac{1}{2}(X - F)^\top A (X - F) }d x_1 \dots d x_{n-1}, \end{align*}
и найти аналитическое приближение для их конечных сумм:
$S(x;N) = \sum_{n=1}^N I(x;n)$.
Для этого можно было бы попробовать использовать формулу суммирования Эйлера, но нужно, чтобы $I(x;n)$ как выражение от натурального $n$ можно было рассматривать как функцию действительного аргумента на натуральных числах. В этом случае $S(x;N) \approx \int I(x;t)dt$. Поскольку $I(x;n) =\frac{1}{\left(2\pi n\right)^\frac{1}{2}}e^{-\frac{\left(x-f(n)\right)^2}{2 n}} $, то проблем нет. Но! В моей задаче рассматриваются интегралы немного другого вида (с измененными нижними пределами):
\begin{align*} J(x;n) = \int\limits_{0}^\infty\dots\int\limits_{0}^\infty e^{- \frac{1}{2}(X - F)^\top A (X - F) }d x_1 \dots d x_{n-1}, \end{align*}
и мне уже непонятно, можно ли схожие рассуждения провести.