Главный член для последовательности

[cema2643]

Здравствуйте!

Попалась задача, где нужно найти главный член вида $C/n^\alpha$ для последовательности $x_n = \sin(1/n)/(n+1)$.

Как решать такие задачи с функциями я примерно понимаю - нужно разложить функции в ряд Тейлора вблизи определенного икса, затем отбросить слагаемые более высокой малости. Затем снять коэффициенты $C$ и $\alpha$ с оставшегося члена.

Но здесь последовательность, а не функция. Как в таком случае действовать? Заранее спасибо за ответы.

[mihaild]

А в чем принципиальная разница между последовательностью и функцией здесь?

[cema2643]

mihaild в сообщении #1569779 писал(а):

А в чем принципиальная разница между последовательностью и функцией здесь?

Последовательность можно раскладывать в ряд Тейлора? Если да, то только вблизи натуральных n?

[mihaild]

Последовательность в ряд Тейлора раскладыать нельзя. Но всё еще можно разложить вблизи нуля функцию $\sin(x)$, а потом подставить $x = 1/n$, и получить выражение для члена последовательности.

[cema2643]

mihaild в сообщении #1569784 писал(а):

Последовательность в ряд Тейлора раскладыать нельзя. Но всё еще можно разложить вблизи нуля функцию $\sin(x)$, а потом подставить $x = 1/n$, и получить выражение для члена последовательности.

Понятно. Спасибо!

[ewert]

Ряд Тейлора тут совсем не при чём. И даже формула Тейлора не при чём. Это просто 1-й замечательный предел.

[cema2643]

ewert в сообщении #1569803 писал(а):

Ряд Тейлора тут совсем не при чём. И даже формула Тейлора не при чём. Это просто 1-й замечательный предел.

Так в замечательном пределе должен быть предел при $x \to 0$, а тут этого нет. Просто последовательность дана. Как это согласуется друг с другом?

[Flood]

cema2643
Через определение предела по Гейне, полагаю.