2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корни многочлена
Сообщение11.11.2022, 16:14 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Через $\mathcal P_m$ обозначим пространство многочленов степени не выше $m$ над $\mathbb{C}$. Пусть $K\subset \mathbb C$ -- непустое замкнутое множество, не совпадающее с $\mathbb C$.

Множество $M\subset\mathcal P_m$ представляет собой объединение множества многочленов, все корни которых лежат в $K$ и множества многочленов нулевой степени т.е. констант.
Задача: доказать, что $M$ замкнуто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение11.11.2022, 23:03 


02/04/18
240
Подвох, что ли, какой-то, не пойму... Но ведь оно само собой получается?

Обозначим $L=\mathbb{C}\backslash K$ (по построению, открытое подмножество; оно тоже не пустое и не равно $\mathbb{C}$), и $N=\mathcal{P}_m \backslash M$ - включает в себя все многочлены степени не выше $m$, хотя бы один корень которых лежит в $L$.
То есть такие многочлены $R(z|\{z_i\})=a\prod\limits_{i=1}^{\mu}(z-z_i), a\in\mathbb{C}, \mu\le m$, что $\exists i: z_i\in L$. Как видно, степень должна быть хотя бы единицей, то есть константы заведомо исключены. Тогда если мы докажем, что $N$ - открытое, то автоматически докажем и исходное утверждение задачи.

Но это очевидно по построению!

Взяв некое $z_0$ из $L$, мы гарантируем, что его окрестность также содержится в множестве. Соответственно, если рассмотреть многочлен $R(z|z_0)$, то он содержится в $N$. Варьируя $z_0$ в пределах вышеупомянутой окрестности, мы перемещаемся и по пространству многочленов, причем непрерывно, и пока $z_0$ остается в $L$, то и многочлен остается в $N$. Если у многочлена несколько корней из $L$, то их независимые вариации тоже не выводят многочлен из множества - это и будет той "окрестностью многочлена $R$", принадлежащая множества $N$, обеспечивающая открытость последнего. QED

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение12.11.2022, 16:31 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Dendr в сообщении #1569773 писал(а):
это и будет той "окрестностью многочлена $R$",

не будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение12.11.2022, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Пусть $f(z)\notin M$, то есть $f(z)$ имеет корень $z_0\notin K$. Фиксируем окружность $\lvert z-z_0\rvert=r$, на которой $f(z)\ne0$, с достаточно малым радиусом, чтобы круг содержался целиком в $\mathbb{C}\setminus K$. Если многочлен $g(z)\in\mathcal{P}_m$ достаточно близок к $f(z)$, то на окружности выполнено $\lvert f(z)-g(z)\rvert<\lvert f(z)\rvert$, поэтому, по теореме Руше, в круге $\lvert z-z_0\rvert<r$ многочлен $g(z)$ имеет столько же корней, что и $f(z)$, то есть хотя бы один. Значит, $g(z)\notin M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение12.11.2022, 18:53 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Уж конечно из пальца доказательство этого весьма полезного факта не высасывается. Теорема Руше, например.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group