Корни многочлена

[krum]

Через $\mathcal P_m$ обозначим пространство многочленов степени не выше $m$ над $\mathbb{C}$. Пусть $K\subset \mathbb C$ -- непустое замкнутое множество, не совпадающее с $\mathbb C$.

Множество $M\subset\mathcal P_m$ представляет собой объединение множества многочленов, все корни которых лежат в $K$ и множества многочленов нулевой степени т.е. констант.
Задача: доказать, что $M$ замкнуто.

[Dendr]

Подвох, что ли, какой-то, не пойму... Но ведь оно само собой получается?

Обозначим $L=\mathbb{C}\backslash K$ (по построению, открытое подмножество; оно тоже не пустое и не равно $\mathbb{C}$), и $N=\mathcal{P}_m \backslash M$ - включает в себя все многочлены степени не выше $m$, хотя бы один корень которых лежит в $L$.
То есть такие многочлены $R(z|\{z_i\})=a\prod\limits_{i=1}^{\mu}(z-z_i), a\in\mathbb{C}, \mu\le m$, что $\exists i: z_i\in L$. Как видно, степень должна быть хотя бы единицей, то есть константы заведомо исключены. Тогда если мы докажем, что $N$ - открытое, то автоматически докажем и исходное утверждение задачи.

Но это очевидно по построению!

Взяв некое $z_0$ из $L$, мы гарантируем, что его окрестность также содержится в множестве. Соответственно, если рассмотреть многочлен $R(z|z_0)$, то он содержится в $N$. Варьируя $z_0$ в пределах вышеупомянутой окрестности, мы перемещаемся и по пространству многочленов, причем непрерывно, и пока $z_0$ остается в $L$, то и многочлен остается в $N$. Если у многочлена несколько корней из $L$, то их независимые вариации тоже не выводят многочлен из множества - это и будет той "окрестностью многочлена $R$", принадлежащая множества $N$, обеспечивающая открытость последнего. QED

[krum]

Dendr в сообщении #1569773 писал(а):

это и будет той "окрестностью многочлена $R$",

не будет

[RIP]

Пусть $f(z)\notin M$, то есть $f(z)$ имеет корень $z_0\notin K$. Фиксируем окружность $\lvert z-z_0\rvert=r$, на которой $f(z)\ne0$, с достаточно малым радиусом, чтобы круг содержался целиком в $\mathbb{C}\setminus K$. Если многочлен $g(z)\in\mathcal{P}_m$ достаточно близок к $f(z)$, то на окружности выполнено $\lvert f(z)-g(z)\rvert<\lvert f(z)\rvert$, поэтому, по теореме Руше, в круге $\lvert z-z_0\rvert<r$ многочлен $g(z)$ имеет столько же корней, что и $f(z)$, то есть хотя бы один. Значит, $g(z)\notin M$.

[krum]

Уж конечно из пальца доказательство этого весьма полезного факта не высасывается. Теорема Руше, например.