Сопротивление нагревающегося провода

[metelev]

Хотел оценить, как именно растёт сопротивление нагревающегося провода со временем, если по нему пропускают постоянный ток. Постоянный в смысле $I=\operatorname{const}$. Написал такие формулы

Выделение тепла на проводе: $\Delta Q=I^2R\Delta t$ (1)
Здесь $I$ - ток, $R$ - сопротивление, зависит от температуры, которая в свою очередь зависит от времени, $t$ - время
Далее, изменение температуры: $\Delta T=\frac{\Delta Q}{c m}=\frac{I^2 R}{c m}\Delta t$ (2)
$c$ - удельная теплоёмкость провода, считаю не зависящей от температуры и $m$ - масса
Далее, изменение сопротивления: $\Delta R = \frac{\partial R}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial t} \Delta t$ (3)

Зависимость изменения сопротивления от температуры: $\frac{d R}{d T}=\alpha R$ (4)

Далее пишу $\dot{Q}$ вместо $\Delta Q/\Delta t$ и подобных частных.

Переписываю (3) и (4) следующим образом $\dot{R}=\alpha R \dot T$
Подставляю (2) и получаю $\dot R=\alpha R \frac{I^2 R}{c m}=R^2\frac{I^2 \alpha}{c m}$

Дальше записываю в виде $\frac{dR}{R^2}=\frac{\alpha I^2}{c m} dt$ и интегрирую

Начальное значение сопротивления $R_0$, начальное время $0$.

Получаю $R=\frac{R_0 cm}{cm-R_0\alpha I^2 t}$

Вроде бы на первый взгляд правдоподобно. При $t=0$ получается $R_0$, как и должно быть, и при увеличении времени сопротивление растёт. А потом, при $t=\frac{cm}{R_0\alpha I^2}$ делается бесконечным - не знаю, правильно это или нет и какой в этом смысл.

Хотелось бы комментариев. Насколько это всё получилось правильно, адекватно. Может быть можно как-то лучше написать. Может быть где-то уже написано.

[lel0lel]

metelev в сообщении #1568996 писал(а):

Зависимость изменения сопротивления от температуры: $\frac{d R}{d T}=\alpha R$ (4)

Почему справа сопротивление в момент $t$?

[lel0lel]

Более практичная задача -- фиксировать постоянным напряжение. Пример -- разведение огня теплоизолированной проволокой и пальчиковой батарейкой.

В этом случае: $dQ=\frac{U^2}{R(T)}dt=cmdT$, и
$R(T)=R_0(1+\alpha T)$, здесь $T$ это температура в градусах Цельсия, $R_0$ есть сопротивление при нуле.

Пример использования накопленных знаний) https://youtu.be/MvCNJ4xbkZE

[metelev]

lel0lel

Спасибо большое за ответы. У меня вообще-то практическая надобность, хотя и не такая утилитарная как разведение костра.

lel0lel в сообщении #1568998 писал(а):

Почему справа сопротивление в момент $t$?

Там имеется в виду производная сопротивления по температуре и справа функция от температуры.

Для тренировки можно взять конкретный пример. Если зависимость от температуры такая $R(T)=R_0 e^{\alpha T}$, то как раз получится $\frac{dR}{dT}=\alpha R(T)$.

А если мы сделаем такую же зависимость от температуры, но ещё добавим, что температура зависит от времени, то у нас будет $R(T(t))=R_0 e^{\alpha T(t)}$. Тогда дифференцируя по правилу для сложной функции наш конкретный пример получим $\frac{dR}{dt}=\frac{dR}{dT}\frac{dT}{dt}=R_0 e^{\alpha T(t)} \alpha \frac{dT}{dt}$. У меня так и написано, $\dot R=\alpha R \dot T$

Вроде как всё правильно. Если я не заблудился в трёх соснах. Странный конечно результат. Ждёшь экспоненту какую-нибудь, а получается не пойми что. Хотя, с другой стороны, чтобы получить температуру от времени надо будет ещё проинтегрировать и будет логарифм. А это почти экспонента, только наоборот

[GraNiNi]

metelev в сообщении #1569031 писал(а):

У меня вообще-то практическая надобность

При практическом использовании всегда будут теплопотери и в пределе установится конечная равновесная температура.

[svv]

metelev в сообщении #1569031 писал(а):

Если зависимость от температуры такая $R(T)=R_0 e^{\alpha T}$, то как раз получится $\frac{dR}{dT}=\alpha R(T)$.

Вот эта экспоненциальная зависимость сопротивления от температуры неправдоподобна. Отсюда и результат.

[lel0lel]

metelev в сообщении #1569031 писал(а):

Там имеется в виду производная сопротивления по температуре и справа функция от температуры.

Для тренировки можно взять конкретный пример. Если зависимость от температуры такая $R(T)=R_0 e^{\alpha T}$, то как раз получится $\frac{dR}{dT}=\alpha R(T)$.

Хорошо. Но, хочу заметить, что это весьма странная зависимость сопротивления от температуры. В некотором интервале температур сопротивление растёт линейно, это вроде известный факт. svv привёл картинку.

Если всё же проводник с
$R(T)=R_0 e^{\alpha T}$, то мой ответ совпадает с Вашим. "Объяснение" эффекта бесконечного сопротивления и, кстати, температуры за конечное время: выбрана экспоненциальная зависимость сопротивления от температуры, то есть, при постоянном токе, с ростом температуры, тепловыделение увеличивается очень быстро, нагретый проводник греется ещё быстрее; решение диффура сингулярно) Физику здесь, мне кажется, искать не следует. Сначала нужно найти проводник с такой зависимостью сопротивления от температуры, затем, отыскать источник с бесконечным напряжением, чтобы поддерживать ток постоянным, ну и позаботиться, чтобы у этого источника был бесконечный запас энергии.

[metelev]

Всех хочу поблагодарить за комментарии. Простите, что не сразу отвечаю.

GraNiNi
В моём случае будет большой ток за короткое время.

svv
Спасибо, хорошее замечание

Тогда надо написать $\frac{d R}{d T}=\alpha$ и далее $\dot R=\alpha \dot T= \alpha \frac{I^2 R}{cm}$ и получится та самая экспонента от времени, которую я и ожидал.

lel0lel
Посмотрел ролик с батарейками. Интересный Может пригодится, если мобилизуют

===

Вообще дальний прицел был такой, хотелось понять, если в проводнике есть участок, сопротивление которого больше на 10%, например, насколько быстрее расплавится именно этот участок. Ведь рост температуры должен приводить к росту сопротивления, который в свою очередь даст дополнительный рост температуры. Пока ещё не было времени как следует об этом подумать.

[GraNiNi]

metelev в сообщении #1569349 писал(а):

В моём случае будет большой ток за короткое время.

Посмотрите близкую тему.
topic149647.html

[metelev]

GraNiNi
Спасибо

[Walker_XXI]

metelev в сообщении #1569349 писал(а):

GraNiNi
В моём случае будет большой ток за короткое время.

Все равно, как мне кажется, надо учитывать потери энергии на излучение, теплопроводность и конвекцию. Ну а если это не учитываете и промежутки времени у вас короткие, то проверка формул при больших временах не имеет смысла - естественно, что они работать не будут.

[metelev]

Walker_XXI

Изменение времени это просто способ изменить суммарный заряд. Так-то конечно, чтобы правдоподобно всё смоделировать, можно долго углубляться в детали.

svv в сообщении #1569051 писал(а):

Вот эта экспоненциальная зависимость сопротивления от температуры неправдоподобна. Отсюда и результат.

В конце концов нашёл в справочнике под названием "CRC handbook of chemistry and physics: a ready-reference book of chemical and physical data" данные по изменению удельного сопротивления железа в зависимости от температуры (у меня сталь 08Ю), и отфиттировал экспонентой получилось вообще отлично



Исходные данные, в первой колонке температура, во второй удельное сопротивление, Ом умножить на метр и ещё на $10^{-8}$

273  8.57  
293  9.61  
298  9.87  
300  9.98  
400  16.1  
500  23.7  
600  32.9  
700  44.0  
800  57.1  

Подгонял в R, результаты подгонки:

> m<-nls(r~exp(a*T+b)+c,data=resist,start=list(a=1/273,b=1,c=1))              
> m                                                                           
Nonlinear regression model                                                    
 model: r ~ exp(a * T + b) + c                                               
   data: resist                                                               
         a          b          c                                              
  0.001892   2.831609 -19.959760                                              
 residual sum-of-squares: 0.04712                                             
                                                                              
Number of iterations to convergence: 6                      
Achieved convergence tolerance: 3.035e-07

[sergey zhukov]

metelev
Полученный сингулярный результат аналогичен закону гиперболического роста (можно в сети посмотреть), например, населения. Предполагается, что скорость прироста населения зависит линейно не от текущей его численности, а от количества разных парных связей между людьми (это число пропорционально квадрату численности населения). Поэтому $\dot N=N^2$, а численность населения достигает бесконечности за конечное время.

Есть и другие примеры таких сингулярностей. Скажем, ракета, целиком состоящая из топлива и разгоняющаяся с постоянной тягой вне поля тяготения, достигает бесконечной скорости за конечное время. Точнее, этой скорости достигает исчезающе малый последний кусочек топлива перед тем, как сгореть. Не совсем та сингулярность, что выше, поскольку здесь не требуется бесконечных ресурсов.

[metelev]

sergey zhukov
Интересно, спасибо.

(Оффтоп)

Пусть даже модель не работает в абсолютном смысле, но всё равно те числа, которые из модели можно извлечь, характеризуют систему. Пишут, что если бы гиперболический рост населения продолжался, то бесконечное количество населения получилось бы в 2025 году. Пишут, что до Рождества Христова тоже был гиперболический рост, но параметры у гиперболы были другие, рост осуществлялся более быстро. Прикольно было бы, если бы оказалось что в соответствии с этими параметрами сингулярность выпадает на один из назначенных ранее концов света. Хотя по большому счёту это всё выглядит как спекуляция. Потому что точное количество населения на планете на какую-то заданную дату до Рождества Христова узнать затруднительно. В последние 200-300 лет да.