формула инегрирования по частям и дифференциальные формы

[zoo]

Возможно это будет интересно студентам. Многомерная формула интегрирования по частям в учебниках по УРЧП выводится несколько мучительно вплоть до использования разложения единицы. Однако получить ее можно весьма просто опираясь только на свойства дифференциальных форм и формулу Стокса.

Предлагается в качестве задачи (несложной) вывести следующую инвариантную версию этой формулы. Пусть $M\subset \mathbb{R}^m$ -- область. В окрестности этой области задано векторное поле $v$ и $m-$форма $\omega=\rho(x)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_m$. Предположим, что эта форма инвариантна относительно $v$ т.е. $L_v\omega=0$, где $L_v$ -- производная Ли. Через $i_v$ обозначим оператор гомотопии. Тогда для любых (в разумном смысле) функций $f$ и $g$ справедлива следующая формула
$\int_{M}g(x)(L_vf)(x)\omega=\int_{\partial M}f(x)g(x)i_v\omega-\int_{M}f(x)(L_vg)(x)\omega$.
Наложить разумные требования на область $M$, ее границу и на все остальные функции также предоставляется читателю.
Отсюда в частности следует, что если $i_v\omega\mid_{\partial M}=0$ то оператор $L_v$ кососиметричен в $L^2(M,\omega)$ и к чему бы это?

[Профессор Снэйп]

zoo писал(а):

...выводится несколько мучительно вплоть до использования разложения единицы.

Что есть разложение единицы?

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Что есть разложение единицы?

Это когда, уехав на выходные, Вы забываете положить единицу в холодильник и, по приезде домой, находите на обеденном столе вместо единицы осклизлую и жутко воняющую субстанцию...(шутка)
Под разложением единицы обычно понимают задание на многообразии такого семейства гладких неотрицательных функций с компактным носителем (чаще всего - бесконечно гладких), что в каждой точке многообразия лишь конечное число из них отлично от нуля, и тогда корректно определена сумма этих функций, которая должна быть тождественно равна на многообразии 1.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Под разложением единицы обычно понимают задание на многообразии такого семейства гладких неотрицательных функций с компактным носителем (чаще всего - бесконечно гладких), что в каждой точке многообразия лишь конечное число из них отлично от нуля, и тогда корректно определена сумма этих функций, которая должна быть тождественно равна на многообразии 1.

А!.. Кажется, понял. Пусть

$$ f_z(x) = \begin{cases} \sin^2 x, &x \in [\pi z, \pi (z+1)] \\ 0, &x \not\in [\pi z, \pi (z+1) ] \end{cases} $$

и

$$ g_z(x) = \begin{cases} \cos^2 x, &x \in [\pi z - \pi/2, \pi z + \pi/2] \\ 0, &x \not\in [\pi z - \pi/2, \pi z +\pi/2 ] \end{cases} $$

Тогда $\{ f_z : z \in \mathbb{Z} \} \cup \{ g_z : z \in \mathbb{Z} \}$ является разложением единицы на $\mathbb{R}$.

[Brukvalub]

Вы привели пример разложения 1 недостаточной гладкости, но суть схвачена верно.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Вы привели пример разложения 1 недостаточной гладкости, но суть схвачена верно.

Почему недостаточной? Разве мои функции не гладкие? Или гладкость --- это не непрерывность первой производной, а что-то другое?

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

P. S. Я так понял, что бесконечная гладкость --- желательное, но не необходимое условие

[Brukvalub]

Как правило, от функций требуют именно бесконечной гладкости.

[zoo]

Про разложение единицы и то какие топологические трудности с этим связаны не только на конечномерных многообразиях но и на бесконечномерных написано у Л. Шварца "Анализ"

[ewert]

я только одного не могу понять. Любая формула интегрирования по частям -- это элементарное следствие формулы Ньютона-Лейбница, применённая к производной от некоторого произведения. Конкретно в этом случае -- под ф-лой Н.-Л. понимается соотв. ф-ла Стокса. А в чём пафос-то?

[zoo]

ewert писал(а):

я только одного не могу понять. Любая формула интегрирования по частям -- это элементарное следствие формулы Ньютона-Лейбница, применённая к производной от некоторого произведения. Конкретно в этом случае -- под ф-лой Н.-Л. понимается соотв. ф-ла Стокса. А в чём пафос-то?

Во-первых, я сразу написал, что задача несложная,
во-вторых, иногда формула интегрирования по частям выводится с помощью рассуждений частично дублирующих доказательство формулы Стокса, поэтому было предложено вывести ее из стандартных фактов о дифференциальных формах (в частности применить формулу гомотопии) ,
в-третьих пафос если угодно, в том, что эта формула записана в инвариантных терминах принятых в современном диф.геоме, в отличие от стандартной версии.
Вы хотите сказать, что Вам очевидна задача, которая изначально была названа несложной и предложена на заметку студентам? Я рад за Вас запишите себе это достижение в актив.

Может Вы на эту задачу
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=14398
также бодро отреагируете?